函數的對稱性與導數

函數的對稱性、奇偶性是歷年高考的重點，而它與其他函數性質的綜合考查更是難點。在高考復習中應注重結合一些初等函數，特別是三角函數，來提高函數性質的綜合應用能力。下面我們來談談利用導數轉化函數的對稱性。

一、建構知識網絡

1.單個函數的對稱性

2.兩個引理

引理1：若可導函數是中心對稱函數，則它的導函數是軸對稱函數，且中心的橫坐標就是導函數的對稱軸。（注：若可導函數是奇函數，則它的導函數是偶函數。）

引理2：若可導函數是軸對稱函數，則它的導函數是中心對稱函數。且對稱軸的橫坐標就是導函數的對稱中心橫坐標。（注：若可導函數是偶函數，則它的導函數是奇函數。）

二、應用

例2.已知函數f（x）=x3+ax2-x在點A（1，-f（1））處的切線為l，若此切線在點A處穿過y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經過點A時，從l的一側進入另一側），求函數f（x）的表達式.

解：由已知得f′（x）=3x2+2ax-1，由f′（1）=2a+2知f（x）在點A（1，

-f（1））處的切線l的方程是：y-f（1）=f′（1）（x-1），即y=（2a+2）x-3a-2.

因為切線l在點A處穿過y=f（x）的圖象，所以設g（x）=f（x）-（y）在x=1兩邊附近的函數值異號，則x=1不是g（x）的極值點.而g（x）=x3+ax2-（3+2a）x+3a+2，則g′（x）=3x2+2ax-2a-3=（x- 解題反思：滿足題意的點A剛好是三次函數的對稱中心，我

們只需由導函數的對稱軸入手，即：

（1）求實數a，b的值；

（3）求實數m的最大值；

（4）當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

數學學習的過程是從特殊到一般，再到特殊的過程，即從具體的函數入手，得到一般的規律，再將其應用到其他具體的題目當中。其中，前一步就是總結歸納的過程，是合情推理的一種具體的形式。在高三的復習中，要經常總結歸納，深入挖掘課本、習題的數學本質，才不會被題海困惑，才能找到樂趣.

（作者單位 福建省安溪第八中學）