數學習題教學的探究與反思

摘 要：在數學教學中培養學生的反思能力是新課程改革推向深入的一個新舉措，是每個數學教育工作者面臨的一個新的課題，在數學習題教學中如何培養學生的反思能力，是一個從理論到實踐都需要認真研究的課題，需要教師在教學實踐中不斷探索和完善。文章結合教學實踐，通過數學習題教學的探索，挖掘數學習題的潛在價值，讓學生對習題進行充分探究，從而啟發學生思維，培養學生的數學能力。

關鍵詞：數學習題；探究；反思；能力

數學教學中的習題教學約占總教學時數的50%左右，因此，習題教學的好壞在很大程度上決定了數學教學效果的高低。新課標理念強調知識是一個螺旋上升的過程，課后習題將已學的和將學的知識融會貫通，做好知識本身的銜接，這樣有利于學生整體上的認識，新教材中的習題涉及“探究式”的問題也比較多。筆者結合自己的教學實踐，對新課標下習題教學應著重注意的幾個問題談談自己的一些做法和體會，與同行交流。

一、巧設問題情境，引導學生在“觀點失真”處反思

數學解題思維活動始于問題情境。學生的學習過程，是一個不斷地接受評價和進行評價的過程。課堂探究中，學生往往因自身的主觀直覺，或受思維慣性影響，而生成他們自認為正確、實質上偏離真理的觀點。對此，為了發揮解題后的再思考在數學教學中的作用，教師不要急于發表觀點，而采用延遲評價、暫停教學的方式，給學生留下冷場、空白，留給學生充分的思考時間和空間，學生往往能夠自主洞察到原先觀點的缺失之處。有效地調動學生思考的積極性，強化學生的多向思維能力，發揮出習題教學的應有功能和價值。

二、注重問題轉換，引導學生從條件中去反思

習題教學中轉換是關鍵的一步，是溝通已知和未知的橋梁。注重轉換就是注重讓學生自覺分析問題的已知和未知條件，深刻理解題意，用自己掌握的知識尋求解決新問題的路徑。在教學中教師要經常引導并啟發學生，使他們學會利用轉換的思想去分析問題、解決問題。

例：光線從點M（-2，3），射到x軸上一點P（1，0）后被x軸反射，求反射光線所在的直線方程。由本題啟發，注意到光線射到x軸上一點P（1，0），若改變條件，根據直線的傾斜角來求斜率，則有：

變式1：光線從點M（-2，3）射出，與x軸正向交角為銳角a，遇到x軸反射，已知tan a=2，求反射光線的方程。

再進一步變換條件，結合直線和圓的位置關系可得：

變式2：已知直角坐標平面上點A（-2，3）和圓C（x-3）2+（y-2）2=1，

一條光線從點A射出后經x軸反射后與圓C相切，求反射后的光線方程。

在原題中，適當削去一些條件能使結論處于動態，而增加某些條件，能使結論得到加強，削弱或強化條件往往能挖掘出較為靈活和綜合的新題來。此時學生的學習興趣就很高。這樣不僅使學生懂得數學，更使他們學會了發現數學和創造數學。因此，在以問題為中心的習題教學中必須抓住問題的數學本質，實現轉化，從而培養學生思維的靈活性。

三、滲透解題策略，引導學生從解題過程中去反思

對解題過程的思考有思考解題方法、思考解題規律、思考一題多解、思考相類似的問題等等。善于作解題后的思考、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步做一題多變，擴大習題的輻射面，無疑對學生能力的提高和思維的發展是大有裨益的。

解法一：應用平方關系消元后化條件式中的函數為同名函

數，轉化為一元二次方程求解。

由條件，α為鈍角，否則sin α+cos α>0，

解法二：對sin α±cos α=a（a≤1），常用的變形方式之一是兩邊平方，然后可求得sin α±cos α的值或sin2α的值，再進一步求解。

解題后，教師要多問幾個問題，有沒有與這道題目相近或相似的題目。還要多引導學生從不同角度、不同層次，觀察、分析、探索不同的解法，總結各種不同解法的異同，這種殊途同歸的教學方法，有利于拓寬學生思路，形成知識體系，深化知識，使學生的思維向多元發展，促使發散性思維的形成與發展。

四、加強解題訓練，引導學生從結論中去反思

對結論的反思有很多個切入點，如：還可以得出什么結論？結論合理嗎？這個結論可以推廣嗎？等等。經常在解題后思考這些問題，有助于學生養成研究性學習的好習慣，對培養他們的探索精神大有好處。

例如：在Rt△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對的邊，其中a=3，b=4，求c的值。筆者進一步引導學生思考與探索：

如果把這個題目條件弱化，把題目改為“在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對的邊，其中a=3，b=4，求c的取值范圍”。

如果把這個題目條件加強，若此三角形是銳角三角形，那么你能求出c的取值范圍嗎？

如果此三角形是鈍角三角形，那你能求出c的取值范圍嗎？

你能否將這個題目的某些條件或結論再作些變化，編出一個新的題目。（小組討論交流）學生經過小組討論后，編出很多很有價值的問題。如：

如果此三角形是等腰三角形，求c的值？

如果此三角形是直角三角形，且∠C=90°，求斜邊上中線？

如果此三角形是直角三角形，且∠C=90°，求斜邊上高線？

在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對的邊，a=3、b=4，∠C=90°，求△ABC的周長L和面積S的取值范圍？

在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對的邊，a=3、b=4，∠C=n°，求c的值？

做完一道題后引導學生通過改變原題的知識元素，圍繞某一問題進行變換、引申、拓展。讓學生思考解題思路和方向是否變化？可使學生不為完成任務而做題，而是通過總結、比較，開拓思路，把注意力放在靈活運用知識以及鍛煉思維方法上，從而抑制“題海”戰術，培養“同中求異”和“異中求同”的思維變通能力，有利于知識歸類和推理能力的提高。

因此，在習題教學中，我們要想方設法創設問題情境，注重問題的轉換，長期滲透思維策略，經常讓學生在解題后再思考，同時給予學生足夠的時間和空間，可培養學生做到會積極思考、會提出問題、會發現問題、會自動探索、會合作交流、會拓展創新，最終使學生達到“學會學習”的至高境界。這樣，才能有效地培養學生獨立思考及解決問題的能力，為后續學習打下堅實的基礎。

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（作者單位 浙江省金華市蘭溪市上華中學）