尊重學(xué)生的思維選擇

摘 要：聽了一節(jié)數(shù)學(xué)公開課“兩角和與差的正切”，感到其中一道例題的講解方法不符合高一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，該解法帶有較強(qiáng)的技巧性，實(shí)為一種構(gòu)造法。在新課程背景下，教師應(yīng)更多地立足于學(xué)生，尊重學(xué)生的自然思維，引導(dǎo)學(xué)生敢想、會(huì)想，從而感受到數(shù)學(xué)思維的樂趣。

關(guān)鍵詞：“兩角和與差的正切”；數(shù)學(xué)；思維選擇

筆者某日聽了一節(jié)數(shù)學(xué)公開課，內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)必修Ⅳ第三章中的“兩角和與差的正切”。感到其中一道例題的講解方法值得商榷。

例題：在斜△ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC。

開課教師首先引導(dǎo)學(xué)生思考△ABC中內(nèi)角之間的關(guān)系。在學(xué)生得出A+B+C=π后，教師即將教材中的解法教給學(xué)生。

證明：斜△ABC中，有A+B+C=π，即A+B=π-C，且A，B，A+B

雖然開課教師給出的即書上的解法，但是筆者卻感到這種解法并不符合高一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，該解法帶有較強(qiáng)的技巧性，實(shí)為一種構(gòu)造法。教師若這樣講授，學(xué)生多數(shù)會(huì)感到迷茫，即使能聽懂，以后碰到類似題，也不會(huì)運(yùn)用。

其實(shí)，這道例題的講解完全可以從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平出發(fā)，尊重學(xué)生的自然思維，可以達(dá)到更好的效果。

思路一：看到△ABC這個(gè)條件，多數(shù)學(xué)生都會(huì)想到以往做題的經(jīng)驗(yàn)，往往是利用A+B+C=π，轉(zhuǎn)化為C=π-（A+B），從而達(dá)到消去C的效果。這一立足于以往經(jīng)驗(yàn)的方法教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生敢想，敢嘗試。證法如下：

因而左邊=右邊

所以等式成立。

該解法利用了等式的消元作用，是一種易于理解接受，并且利于模仿遷移的方法。

思路二：引導(dǎo)學(xué)生注意觀察該等式的特點(diǎn)：既有正切之和，又有正切之積。經(jīng)過提示，學(xué)生會(huì)想到這正是兩角和的正切公式的特點(diǎn)，可以通過該公式的變形進(jìn)行正切和與積的轉(zhuǎn)換，因而自然而然就產(chǎn)生了第二種解法：

左邊=tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC

=-tanC（1-tanAtanB）+tanC=-tanC+tanCtanAtanB+tanC

=tanAtanBtanC=右邊

所以等式成立。

這一解法立足于公式的變形與作用，既帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了公式，又使學(xué)生對(duì)公式的理解更深入徹底，同樣是一種貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)域的自然解法。

至于教材給出的解法，與后兩種解法比較起來，顯然距離學(xué)生的認(rèn)知水平遠(yuǎn)了一些，因而如果講解方法不當(dāng)，很容易給人一種生硬刻意的感覺，學(xué)生從潛意識(shí)里是會(huì)排斥的。如果一定要采用，筆者認(rèn)為如果能與學(xué)生的固有知識(shí)體系找到結(jié)合點(diǎn)，可能會(huì)自然一些。如可以引導(dǎo)學(xué)生：正切是一種三角函數(shù)，屬于函數(shù)的范疇。而函數(shù)知識(shí)告訴我們：若x1=x2，則f（x1）=f（x2），因而由于A+B=π-C，所以兩邊取正切函數(shù)也應(yīng)該相等，即tan（A+B）=tanC，然后再進(jìn)行下去。這樣講解可能會(huì)易于接受一些。當(dāng)然，以上僅是筆者的一點(diǎn)拙見而已。

學(xué)習(xí)過程是一個(gè)充滿價(jià)值判斷的領(lǐng)域。學(xué)生面臨問題時(shí)，首先有一段含有價(jià)值判斷的“似真推理”，窺測(cè)方向，然后才是帶有一定邏輯意義的行動(dòng)。事實(shí)上，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)常常用自己的思維方式或精心的設(shè)計(jì)來導(dǎo)向?qū)W生學(xué)習(xí)，這樣就取代了學(xué)生面臨問題時(shí)“窺測(cè)方向”的過程，久而久之則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的思維僵化，沒有自己的思想。所以，在新課程背景下，我們應(yīng)更多地立足于學(xué)生，尊重學(xué)生的自然思維，引導(dǎo)學(xué)生敢想、會(huì)想，從而感受到數(shù)學(xué)思維的樂趣。

（作者單位 江蘇省常州市新橋中學(xué)）