阿基米德對海倫公式的純幾何首證
2013-01-01 00:00:00丁位卿
中學數學雜志(初中版) 2013年4期
阿基米德（公元前287年—前212年），古希臘數學、物理學家.他對人類的科學做出了巨大的貢獻，被后世數學家尊稱為“數學之神”，位居世界科學巨人之首（另兩位為近代的高斯和牛頓）.據黃家禮的《幾何明珠》（文[3]）和現行高中數學教材（必修5）介紹：海倫公式最先由阿基米德發現并首證，遺憾的是其證法已失傳，令后世數學家、史學家們困惑不已.筆者刻苦鉆研，認真研讀了他所能參考的唯一書籍歐幾里得的《幾何原本》（文[1]）中的有關三角形內切圓和相似三角形等內容并參考海倫對海倫公式的純幾何證法（文[2]）.復原了阿基米德對海倫公式的純幾何首證（借助現代數學符號），供讀者參考.復原古人證明已不乏先例：著名數學家吳文俊教授曾根據我國古代幾何證明的傳統特點.復原了南宋數學家秦九韶“三斜求積”公式（與海倫公式等價）.
海倫公式：若已知任一△ABC的三邊長為a，b，c.則其面積S=p（p-a）（p-b）（p-c），其中2p=a+b+c.
證明 如右圖，△ABC的內切圓圓O與三邊的切點分別為D、E、F，連OD、OE、OF、OA、OB，并設OD=OE=OF=r，延長DO與圓O交于M，再過M作圓O的切線，分別交CE、CF于P、Q兩點，連接OP、OQ.
由三角形內切圓性質和作法可得，PE=PM，MQ=QF，并設AD=AE=x，BD=BF=y，CE=CF=z，
