一節常態數學實驗課的設計與思考

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下稱為《課程標準（2011年版）》）指出：“學生的學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動.”踐行這一理念的最好抓手莫過于數學實驗.[1]

數學實驗是從生命個體的“數學現實”出發，借助好玩的紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等實物，在動手、動口、動腦的參與下，親歷觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗，主動建構并發展自我認知結構的活動過程.它領跑了改課思潮，變“觀眾”為“表演家”、變“要我學”為“我要學”、變“苦學”為“樂學”……在感性世界具有得天獨厚的優勢.借助生命玩的天性，讓知識在玩中不經意出生，排斥指向性意志力，因而倍受孩子們青睞，比音體美更有號召力.片斷型實驗雖能敦促知識出生，卻因前攝抑制引發知識褶皺；連載式實驗戰線太長，容易引發精神疲勞，消解興趣.因此，常態數學實驗課應運而生，關照實驗內容選擇的精心、實驗手段的精當、實驗問題的精致、實驗流程的精準，基于知識出生的效度、信度、區分度和思想方法的滲透度.

1 一節常態數學實驗課的設計示例

實驗目的

（1）通過動手操作，探索用方程描述實際問題中的數量關系；（2）借助天平稱量物質的操作過程，感受方程模型思想.

實驗準備

（1）天平若干；

（2）1g、2g、5g、10g、20g、50g、100g砝碼足夠多；

（3）質量不同的藍色、紫色（質量為1g）小球若干，食鹽500g；

（4）4人一組.

實驗內容和步驟

活動一：稱一稱

現有一架天平和1g、2g、5g的砝碼各1個，你可以稱出 6g食鹽嗎？

設計意圖 小學課本中已經借助“天平”幫助學生初步感受從問題到方程的生發過程.該活動的設計旨在喚醒學生對小學學過的相關知識的記憶，讓學生在頭腦中浮現出“方程”的直觀形象，激發學生再次探索新知的欲望.另外，這個活動僅是感受方程模型的敲門磚，要求相對較低，幾乎每個孩子都有能力玩，為實驗常態展開埋下伏筆，實現了人人參與實驗的初衷.

活動二：試一試

⑴ 現有一些散裝食鹽，有1架天平和1盒標準砝碼（內有1g，2g，5g，10g，50g，100g砝碼各1個，20g砝碼2個），你如何稱出這些食鹽的質量？

⑵ 如果拿掉一個10g的砝碼，依舊在現有條件下要稱出這些食鹽，你如何稱？

活動記錄表1：

設計意圖 這個活動的要求相對較高，需要學生借助嘗試，漸次壓縮范圍，利用“兩邊逼迫法”獲取食鹽的質量.實驗記錄表能展示學生的“試稱”過程，翔實地講述了天平兩端所放砝碼的質量、天平是否處于平衡狀態以及估計食鹽的質量范圍（即結論），清晰地展現了學生的操作指向和思考路徑，讓等與不等關系從手邊自然誕生，直觀地感受方程模型的存在性.顯然，此活動具有極強的開放性，學生可以依據自己的思維習慣和動手能力選擇心中預定的食鹽數量展開實驗，這能激活學生的智力興趣，又能引動學生的發散性思維和引發學生的求異精神，有效地表達了實驗的承載功能.

活動三：想一想

（1）處于平衡狀態的天平上，左盤里有2個質量相同的藍色小球和1個質量為1g的紫色小球，右盤里有1個質量為5g砝碼，你能猜出藍色小球的質量嗎？

（2）如果設藍色小球的質量為x克，你能得到一個關于x的式子嗎？

通過上述操作，你有哪些發現？

設計意圖 在累積無序“稱量”經驗的基礎上，創設了這個具體稱量活動，能讓學生的內層思維自然過渡到天平平衡狀態時“數量之間的相等關系”，能初步體悟方程模型思想.平衡的天平能直觀的解釋方程的存在性與合理性，讓學生切實明白方程的來龍去脈，不再是傳統課堂生產的突兀方程（魔術師帽子里跳出的兔子），實現了借用天平建立常態方程模型的先天優勢.

活動四：議一議

（1）請用實例來解釋方程2x+1=5的意義并用天平進行檢驗.

（2）任意編一道你喜歡的且符合實際的方程問題，借助天平檢驗其合理性.

經歷上述活動，你覺得天平處于平衡狀態時兩端物體的質量之間有何數量關系？“從問題到方程”一般要經歷哪些過程？如何列出方程？與同伴交流你的想法.

設計意圖 這一活動的運作是對方程模型的補續，能讓完滿的方程扎根于學生理解思維的頂層，實現了用天平感受方程模型的潛能.第1個活動設置目的是培養學生的逆向思維能力，讓學生用生活背景解釋自己對方程模型的理解，唱響了數學來源于生活的理念，并借用天平平衡狀態闡釋方程的信度；第2個活動的創設則是栽植學生的問題意識，讓模型意識融入孩子們的生活思維，體現了數學服務于生活的理念，并借助天平平衡狀態詮釋方程模型的效度.最后的結論提煉則是學生操作后的思考，揭示在探究方程優越性的過程中感覺到用方程解決問題是優效的，讓學生抓住用數學符號把要說的話（即兩件事情等價）表達出來，從而生成踏踏實實的“方程”模型.

2 一節常態數學實驗課的實踐與思考

常態數學實驗課以“做”為抓手，以簡單易行為條件，以經濟實惠為視點，立足于學生的學力，觀照課時內容的完整性和知識的譜系性，排斥片斷性和連載式，讓學生理解無法理解的知識，生長能力看似夠不到的數學思想方法，累積生命經驗的長度、高度和寬度.具體的“常態”體現在以下四個方面：其一實驗內容的常態，選擇實驗能提高知識出生的效度；其二實驗手段的常態，借助剪剪拼拼、稱稱量量、圈圈算算等手段提高知識生長的信度；其三實驗問題的常態，關注由淺入深、由表及里、由特殊到一般梯度提升學生的思維力，關注問題的區分度和學生的層次性；其四實驗流程的常態，由封閉走向開放，由聚合思維轉向發散思維，順應建模思想的滲透度.

2.1 數學實驗內容的選擇要精心，基于知識出生的效度

《課程標準（2011年版）》指出：“課程內容要符合學生的認知規律，不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法.課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索.課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系；要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系.”[1]這就要求教師在二度開發使用教材時必須站在學生的思維層面選擇匹配的教學內容，關注知識出生的效度.由于數學實驗能讓抽象的知識可視化、難產的知識順產化、單調的知識生趣化、滯脹的知識漸次消化，因此在一定層面上補位了傳統數學課堂的不足，深受師生的青睞！由于受生命長度的限制，學生不可能經歷每一個知識點的形成過程，接納知識的過程在某種程度上還以模仿訓練為主，畢竟數學實驗需要時間的支持、空間的承載，不可以太奢侈！因此數學實驗內容的選則要精心，關照傳統課堂無法生長的知識點或理解思維夠不到的問題，立足于知識出生的效度.

方程模型在教師的視域內是何等的簡單，可是講授背景下的學生獲得的方程總是處于“夾生”狀態.經年的教學經驗顯示，能用算術方法解決的實際問題，學生絕不用方程解決；大凡必須用方程解決的問題學生就容易留白，于此看來，方程是不能真正聽會的，也不是教師的說教能解決的，只有讓學生在實際操作中不斷的感受和提煉才能漸次內化，因此必須借助數學實驗來建構方程模型.類似的知識還有：用字母表示數（可用火柴棒搭小魚實驗）、理解算法思想（可用數值轉換機實驗）、用一元一次方程解決問題（可借用月歷中的方程游戲）等，借助實驗能拉長學生理解思維的生長鏈，提高知識出生的效度.而有些經典的數學知識是不需要數學實驗的，只要采用簡單易行的“類比啟發+模仿訓練”即可實現知識的有效生成，比如有理數的減法可類比加法、分式的加減運算可類比分數的加減運算、一元一次不等式的解法可類比一元一次方程的解法等.鑒于此，實驗內容的選擇必須精心，應該聚焦知識出生的效度，不可以事事實驗、時時實驗，畢竟課程目標和課程內容有所期待，生命的生長和知識的發展有所規劃.

2.2 數學實驗手段的挑選要精當，基于知識出生的信度

數學實驗的類型大致可分為實物驗證型（建立在實物直觀上的數學理解，測量樓梯的傾斜角：角的知識在生活中的應用等）、操作思考型（建立在實物模擬下的數學思考，借助天平平衡狀態感受方程模型等）、探索發現型（建立在信息技術平臺上的數學探究，借助計算機探索二次函數圖象的畫法與性質等）.[2]與實物驗證型和探索發現型實驗相比，操作思考型實驗來得更經濟節約、方便簡易、貼近實際.畢竟實物驗證型需要一定的成本，探索發現型需要學力奠基，這些因素又是不確定的，需要調研市場、考量分析思維能見度，成本偏高，消耗較奢侈，因此實驗手段的選擇要精當匹配.初中數學課堂上常態的實驗手段往往采用剪拼、稱量、圈算的方式引發學生的數學思考，就這個層面而言，操作思考型更具有大眾性和平民性，相對常態化.借助手頭操作生產的知識經驗在學生的思維國度更具有可信性，能提升知識出生的思維信度.

“從問題到方程”涉及的生活素材豐富多樣，可以是用火柴棒搭小魚、可以是天平稱量實物、可以是賽場得分游戲、也可以是年齡游戲等，但能幫助學生理解“方程模型”來龍去脈的抓手莫過于天平實驗，因為天平的平衡狀態能讓原本看不到的方程模型可視可感可摸.天平在學生的生命履歷里是親切的、好玩的、熟悉的.超市里的電子稱、物理實驗室里的天平、藥房里的磅秤等都是常見常新的“等號”印象，稱量的情景隨時隨地都會浮現于孩子們的腦海，因此選擇天平實驗感受方程模型更能展示新知的可信度.比如該實驗中的活動二就能生動闡釋方程的信度，學生自己確定稱量食鹽的大致質量，借助增減或替換砝碼的方式，在估測和逼近思想的參與下，獲得天平平衡狀態時的等號，進而感受方程就在手邊，不是從天而降的憑空想象，而是具體生動的知識，是實在的、可信的、有用的.由于天平平衡狀態不是一次就能呈現的，而是在不斷的猜測、估算、調試中漸次由兩邊傾斜走向一種難得的平衡狀態，由常態的不等走向暫時的平衡.整個追求平衡的過程涵蓋了逼近思想、轉化思想、替代思想、整體與局部思想，能讓學生獲得多重生命體悟，凝練個性的思維品質，這給生命的發展提供不可多得的奠基.因此，實驗手段的挑選一定要精當合體，才能提升新知的信度指數.

2.3 數學實驗問題的設置要精致，基于知識生長的區分度

《課程標準（2011年版）》指出：“教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教.教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想方法，獲得基本的活動經驗.”[1]源于此，數學實驗的問題設置要精致化，吻合學生的認知現狀.這里的精致化是指問題設置要關照整體學情，讓每一個學生的現有思維伸手可觸及又若即若離，但經過努力能夠得著，達到“跳一跳夠到桃”的悟化境界.唯有適配的問題才能有效地拉動學生的思維，不同的思維土壤才能長出不同層次的知識經驗；唯有問題精致，才能讓每一塊思維田園在原有的基礎上提高知識產量，不同的思維水準生長出區分度明顯的知識.

這節實驗課的問題設置是精致的，知識生長的區分度是明顯的.第一個活動設計了具體稱量問題（固定砝碼的使用范圍以及稱量食鹽的質量，答案是1+5=6或2+5=6+1的模式），讓每個學生都有能力參與；第二個活動創設了不確定稱量問題（固定砝碼的使用范圍但稱量食鹽的質量不確定又有底限，這里的兩個活動要相互照顧，答案不唯一，可以是160=100+50+10，16=10+5+1等），讓不同思維起點的學生都能獲得原本應有的體驗；第三個活動刻畫了在具體稱量基礎上天平平衡的狀態，引動方程模型（若設每個藍色小球的質量為xg，則可得關系式：2x+1=5），讓每個學生都能獲得方程模型的層面性體驗；第四個活動問題設置的立足點既是對實驗過程的提煉又是逆向思維的整合，讓知識有序有向回流，形成知識循環節.整個問題設置呈梯度上升，關照學生的層次性，讓每個學生都有事可做、有話可說，知識長勢千姿百態，收獲常態數學實驗課帶來的幸福體驗！

2.4 數學實驗流程的指向要精準，基于建模思想的滲透度

《課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義.這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想.”[1]而數學實驗的目的是幫助學生借助直觀的操作理解抽象的、難以消化的知識（主要指概念、法則、公式、定理以及規律性的結論等）以及依托于具體知識背后的數學思想方法（主要指建模思想、抽象思想、化歸思想、分類思想、從特殊到一般的思想等）.此次實驗的核心問題是滲透方程建模思想.東北師大史寧中教授曾說過：“學生用自然語言闡釋所述的事情，然后抽象成數學表達，最后用數學符號建立方程，解決問題，這正是建模的過程.”實驗流程的指向要以構建方程模型為出發點，達成實驗的初衷（借助天平感受方程模型）.因此，實驗流程的指向必須精準，關注數學建模思想的滲透度.

方程是學生進入中學以來，剛剛接觸的第一個代數模型，后續還要學習不等式模型、函數模型等，雖然方程模型在小學里已經有了初步的認識，但是大部分同學沒能真正形成模型意識.因此，這次實驗承載的常態目標就是建立“方程”模型.模型思想不是說建立就建立，想建立就能建立的，它是一個緩慢的用心培植過程.只有讓學生親歷模型的發生發展過程，在具體的活動中不斷積淀知識經驗才能凝練而成.因此，實驗活動流程的指向要非常明確.每一個操作步驟要達到怎樣的實驗目標，要學生學會哪些知識，在這些知識的背后承載哪些思想方法，在設計時都要充分的預設和開發；怎樣的指向更有利于方程思想的生長，要做技術上的鋪陳和考量.活動一的指向是讓學生在封閉的操作中喚醒方程模型的意識；活動二的指向是讓學生在開放的操作中滲透方程建模思想，全方位驚醒學生的方程意識；活動三的指向是讓學生在特定條件下感受方程模型的存在性和必要性；活動四的指向讓學生借助具體的方程模型解釋相關生活背景，提煉方程模型的建構路徑，實現內隱知識外顯化.

3 后續的思考

常態數學實驗課的隨機性和展延性，決定了我們無法找到一條“萬變不離其宗”的行走線路.只要能貼著學生的思維原創區走，就能讓看似難長的知識潛滋暗長，原本混沌的數學思想方法澄澈空明，達成數學知識與數學方法齊飛，行走藝術共數學思想一色！

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2] 董林偉.在教材中滲透數學實驗的思考與實踐[J].中學數學教學參考（中旬），2012（1-2）：128-132.