四點共圓在平面幾何問題解決中的應用
2013-01-01 00:00:00蔣必昆
中學數學雜志(初中版) 2013年4期
1 四點共圓在三角形中的應用
例1 如圖1，在銳角△ABC中，BD，CE是它的兩條高線，分別過B，C引直線DE的垂線，BF⊥DE于F，CG⊥DE于G，求證：EF=DG.
分析 由已知可得，四邊形BCGF為直角梯形，FG為一腰，要證EF=DG，只需作梯形的中位線OH，則OH⊥FG，如果證得EH=DH，則EF=DG顯然成立.
證明 取BC，FG的中點分別為O，H，連接OH，則OH是直角梯形BCGF的中位線.
因為OH∥BF∥CG，BF⊥DE，CG⊥DE，所以OH⊥DE.因為BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC=∠BDC=90°，即B、E、D、C四點共圓.因為OH⊥DE，ED為圓O的一條弦，所以由垂徑定理可得，EH=DH.因為FH=GH，EH=DH，所以EF=DG.
