正整數(shù)平方的一種奇妙性質(zhì)
2013-01-01 00:00:00甘志國(guó)高繼勇
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2013年4期
印度數(shù)學(xué)家J·V·Chaudhari和M·N·Deshpande在1996年2月發(fā)現(xiàn)了完全平方數(shù)的一種奇妙性質(zhì)：當(dāng)正整數(shù)k=956～968時(shí)，k2均為六位數(shù)，把它的前三位數(shù)與后三位數(shù)相加，得到的和也是完全平方數(shù)（例如由9672=935089得935+89=1024=322），并且這些完全平方數(shù)的算術(shù)平方根恰好是正整數(shù)43～31.[1]
美國(guó)數(shù)學(xué)家Owen Thomas在1996年9月也發(fā)現(xiàn)了這樣的完全平方數(shù)：當(dāng)正整數(shù)k=9859～9900時(shí)，k2均為八位數(shù)，把它的前四位數(shù)與后四位數(shù)相加，得到的和也是完全平方數(shù)，并且這些完全平方數(shù)的算術(shù)平方根恰好是正整數(shù)140～99.[2]
實(shí)際上，由1998年10月筆者發(fā)表的拙文《幾類雙色完全平方數(shù)》[3]中的定理1也可得上述結(jié)論.
中國(guó)陜西省的王凱成老師（見[4]—[7]）及筆者的文獻(xiàn)[8]對(duì)上述問題也作了比較深入的研究.
筆者近日又發(fā)現(xiàn)了所有的正整數(shù)的平方均有以上類似性質(zhì).那對(duì)兩位正整數(shù)來說，以前人們只得到了這樣的結(jié)論：當(dāng)正整數(shù)k在86～90上取值時(shí)，k2均為四位數(shù)，把它的前兩位數(shù)與后兩位數(shù)相加，得到的和也是完全平方數(shù)，并且這些完全平方數(shù)的算術(shù)平方根恰好是正整數(shù)13～9.但是852=7225就不再有此性質(zhì)：72+25=97，但97不是完全平方數(shù)，更不會(huì)是142.筆者發(fā)現(xiàn)做一下微調(diào)就可以了：
