“新定義”試題

以“新定義”為背景設置的試題是中考培養學生自主學習能力、閱讀理解能力、遷移和創新能力的基本題型之一，已成為近幾年中考的熱點和焦點.此類試題立足基礎，不受常規題型的束縛，源于教材又高于教材，是書本知識的拓寬和延伸，能較好地考查學生綜合分析問題、解決問題的能力，充分體現了“由知識立意向能力立意轉變”的中考命題思想.縱觀近幾年中考試題中，越來越多的“新定義”試題出現在壓軸題中，現選取2013年部分此類壓軸試題，通過對其進行分析歸類、歸納總結，試圖達到洞察其變化規律、明晰其命題套路、尋找其解題方法之目的.

1 新定義“點”

例1 （北京市）對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關聯點.已知點D（12，12），E（0，-2），F（23，0）.

（1）當⊙O的半徑為1時，①在點D，E，F中，⊙O的關聯點是 ；

②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關聯點，求m的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑r的取值范圍.

分析 （1）①需數形結合，畫出⊙O，找到點D、E、F，則點D在⊙O內，點E、F在⊙O外，根據“關聯點”的定義，易知點D為⊙O的關聯點.至于點E、F，可分別作⊙O的兩條切線，得到∠AEB或∠AFB，再借助切線的性質來判斷∠AEB或∠AFB與60°的大小關系即可.

②直線l與⊙O相離，直線外的點如果作圓的切線，此時切點與點P及圓心O組成的角小于30°，故不可能是關聯點.而相切如果正好是30°，則意味著點到圓心的距離等于2.所以有m2+（-33m+2）2=4，解得m=0或3.因此點到圓心的距離小于2的均可以是關聯點.

（2）根據題意可知，由點E或點F所作⊙O的兩條切線得到的∠AEB或∠AFB均需等于60°，因為OE=2，OF=23，則EF=4，故只要取EF的中點為圓心，1為半徑作圓，則線段EF上的所有點都是該圓的關聯點，此時為最小圓，當半徑大于1時，也同樣滿足.

簡解 （1）①D、E；②0≤m≤3.

（2）以線段EF的中點為圓心作圓，其半徑r的取值范圍是r≥1.

評析 本題以平面直角坐標系為背景，給出了“關聯點”的新定義，背景公平、材料新穎，但并不神秘，表面上看是沒有見過的陌生問題，但只要理解了何謂“關聯點”，并緊扣新定義，將新定義作為解題的依據，就可以將其轉化為我們熟悉的數學問題，把握問題解決的關鍵點.本題著重考查了學生的閱讀理解能力和面對新定義自主解決問題能力，寓數形結合、方程思想、特殊化的方式找臨界值等數學思想方法于其中，立足于基礎知識的運用，其中涉及知識點有“關聯點”定義、直線與圓的位置關系、切線長定理、切線的性質、勾股定理、直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半等.