印度初中數學教學大綱評介

1 印度教育簡況

1.1 教育行政管理體系

印度28個邦和7個中央直轄區組成了35個一級行政區（State and Union Territories），下有專區、縣、鄉（市）、村（鎮）行政區，教育行政體系也依此建立.印度獨立之后，沿用了被殖民時期中央和地方（邦）共同管理教育的體制，隨著權利的下放不斷提高民主化程度.獨立初期，印度分別針對高等教育、中等教育、基礎教育成立了相應的教育委員會，指導各自的教育改革與發展.1950年的印度憲法規定，教育實行地方分權，原則上由各邦管理，聯邦教育部只通過財政援助的方式促進各邦教育平衡發展.1966年，科塔里（Kothari，D.S）教育委員會發布《教育與國家發展》報告，提出要發揮中央政府對教育的領導力，并把邦教育部作為制定和執行教育計劃的主要機構等建議，對其后20年的教育行政與管理方面的發展做了詳細規劃.1986年《國家教育政策》（The National Educati on Policy）教育行政改革目標是把權利從邦下放到地方一級，以縣為單位施行初等教育.把中央教育咨詢委員會、邦教育咨詢委員會、縣教育委員會和地方一級代理機構作為教育管理的核心，以人力資源開發部教育司取代原教育部，作為中央一級的教育行政管理機關負責全國教育事務，尤其是各級教育發展綱要的制定.

此后，全國教育研究與培訓委員會、中央教育咨詢委員會等在內中央教育行政管理機構日益壯大，縣教育委員會、自治市教育委員會等地方教育行政管理機關在各邦教育部的指導下發展起來，不斷完善教育分權的管理機制.

1.2 普通基礎教育課程改革

印度基礎教育課程經歷了多次改革，特別是2005年印度國家教育與培訓委員會（National Council for Educational Researchand Training，簡稱NCERT）頒布的《國家課程框架》（National Curriculum Framework，簡稱NCF）掀起了印度新一輪的課程改革.進入21世紀后，世界課改潮流的引領與推動，促使印度重新審視過去改革成效甚微的問題.例如，印度在第一個五年計劃期間，國家教育經費的56%撥給了初等教育[1]，為什么一直沒能實現普及義務教育.同時面對經濟全球化帶來的挑戰，政府認識到要轉向提高教育質量、鞏固兒童入學率、減輕學生壓力等方面，而不是提出不切實際的宏偉目標.最重要的是，要在保證統一有序的教育體制下促進印度多元化發展，就如NCF所言：“區別的存在是上天賜予我們的禮物，我們需要保護這種多元的存在，并使它繁榮發展.”[2] NCERT在此框架搭建的課程體系基礎上，于2006年制定了基礎教育各科教學大綱（syllabus），加快統一全國課程的步伐.

印度現行學制為“10+2+3”模式，即10年的普通教育加上2年的高中教育，以及3年的高等教育.其中，普通教育可細分為5年的初級小學、3年的高級小學與2年的初中教育.該學制10個主要目標為：“與現實密切相聯的教育、實施數學與科學教育、社會正義和國家一體化、民族意識和民族理解、勞動體驗、三種語言方案、藝術體驗與表現、健康與體育、性格鍛煉、基本素質” [3].無論是從學生的年齡特點出發，還是出于對印度現行學制的綜合考慮，“10+2+3”的教育體系適合在全國統一實行.普通教育階段的課程開發由全國性教育自治組織NCERT負責，于2006年統一了全國最新課程設置：初小階段開設語言（Language）、英語（English）、數學（Mathematics）、環境學（Environmental Studies）四門課程，高小階段增設科學（Science）和社會科學（Social Science），初中階段除去環境學，又在小學的基礎增加了歷史（History）、地理（Geography）、政治學（Political Science）、經濟學（Economics），共9門課程.之后的三年時間里，NCERT還陸續出版了小學至高中的統一教科書，并在全國發行使用.

本文介紹的印度普通教育數學教學大綱文件為：Syllabus for Secondary Level∶Mathmetics （IX-X），由NCERT編定并于2006年6月出版，是印度歷史上第一個全國性的統一課程文件.

2 印度初中數學教學大綱總體特點

此階段的教學大綱中的概念及其應用與小學課程保持一致，每個年級的教學大綱轉化為實際教學的時間均約為180課時，這是根據該領域的教師教學反饋的實際的數字，總體呈現出四大特點：

學習一個或一系列概念所需課時的規定，應當考慮學習者的情況，使得他們能通過幾種方法去發展并詳細闡述自己（對概念）的理解以及這些概念間的內在聯系.當實施這個教學大綱時，我們希望能提供學習者許多機會去探究數學概念和過程，以利于他們能建構對這些概念的理解.

核心是發展涉及數學推理的過程.因此，學習者需要大量機會和足夠的時間發展處理高度抽象化的過程，從特殊到一般再到特殊，對一個概念或過程從一種表述到另一種表述的熟練，解決問題并提出問題，等等.

實施數學課程時，課程與學習者的生活與經驗的關聯應該被作為重點來考慮.其目的是使學習者認識到數學以何種方式存在于生活之中以及為什么.

我們注意到在初中階段，學生接觸了更正式（形式化）的數學.他們需要發現到目前為止所學知識的聯系并加以鞏固，然后開始嘗試并理解涉及的正式（形式化）的思考過程.在這樣的觀點下，在九年就到十年級，數學證明/推理和數學模型這兩個領域在每個年級都有學習.由于是首次學習這兩個領域，且學生缺少必需的意識，所以將它們作為教科書的附錄部分的主題.這給教師和學生一個接觸這些概念的機會.如果課程時間允許，這些主題可以按照計劃包含在教學大綱的主要內容中.

初中階段的總體指導方針：

所有的概念/等式必須用實例加以說明.

文字題的語言必須是清楚的、簡單的、明確的.

所有證明的推理要用不說教的方式，讓學習者看到連貫的推理的過程.所有證明必須以能讓學習者看到連貫的推理的方式給出.只要有可能，給出一種以上的證明.

推導大部分結果.明確地證明那些結果，其中簡短而清楚的證據能增強數學思考與推理.必須強調表述論點的正確方式.

尺規作圖的原因是為了推導并解釋合理的觀點與推理.所有的作圖必須包括對作圖的分析，證明作圖必須經歷的步驟.

3 印度初中數學教學大綱具體內容

3.1 9年級具體數學課程內容

第一單元：數系

實數 （20課時）

復習自然數、整數、有理數在數軸上的表示法.有限小數或無限循環小數的表示，通過連續增多小數點位數的（即逐漸逼近取近似值）的方法表示在數軸上.有理數表示成循環小數或有限小數.

不循環或者無限小數的例子，如：2，3，5等.無理數的存在，如2，3，以及在數軸上的表示方法.解釋每個實數可由數軸上唯一的一個點表示，相反地，數軸上的每一個點都表示唯一的一個實數.x是正實數時，x的存在性（強調可視化的證明）.實數的n次方根的定義.

回顧整數指數冪的規律.底數是實數的有理指數冪（由特例給出，允許學習者找出一般規律）.

如1a+bx與1x+y類型（或兩者結合）的實數有理化（有精確的含義），其中x、y為自然數，a、b為整數.

第二單元：代數

多項式（25課時）

利用正反例理解一元多項式及系數，一元多項式的項與零次多項式.多項式的次數.常數多項式、一次多項式的、二次多項式、三次多項式，單項式，二項式，三項式.因數和倍數.多項式的零解/方程的根.利用實例表述并推導學習余式定理，并類推到整數.陳述并證明因式定理.因式分解ax2+bx+c，a≠0，其中a、b、c是實數，利用因式定理分解三次多項式.

回顧代數表達式與等式.更高級的等式類型，如：

（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx，（x±y）3=x3±y3±3xy（x±y），

x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx），

及它們在多項式的因式分解中的應用.利用簡單的表達式化簡這樣的復雜多項式.

二元一次方程（12課時）

回顧一元一次方程.介紹二元方程.證明一個二元一次方程有無限多的解，并可以寫成有序實數對的方式，將這些實數對描點后可以發現它們位于同一直線上.同時用代數與幾何的方法解決現實生活中比率與比例問題的例子.

第三單元：解析（坐標）幾何（9課時）

笛卡爾平面，點的坐標，跟坐標平面有關的名稱和術語，特定符號，在平面上描點，以一次方程的圖像為例；關注形如ax+by+c=0的線性方程，寫成y=mx+c的形式，并與二元一次方程這一章節的內容聯系起來.

第四單元：幾何學

介紹歐式幾何（6課時）

歐幾里得和印度幾何學的歷史.歐幾里得利用通用/顯然的概念、公理/公設、定理等將生活中觀察到的現象形式化成嚴格數學的方法.歐幾里得的五個公設，第五公設的等價條件.展示公理與定理的關系.

過兩點能且只能作一直線.

（證明）兩條不同的直線最多僅有一個公共點.

線和角（10課時）

（推導） 如果一條射線位于另一條直線上，則相鄰兩角的和為180°，射線反向延長在另一側的情況亦然.

（證明）兩直線相交，對頂角相等.

（推導）第三條直線與兩平行直線相交時，同位角、內錯角、同旁內角的情況.

（推導）同平行于一條直線的直線互相平行.

（證明）三角形的內角和是180°.

（推導）如果延長三角形的一條邊，則形成的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和.（三角形的一個外角等于其不相鄰的兩內角之和）

三角形（20課時）

（推導）如果兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等，則這兩個三角形全等（SAS全等）.

（證明）如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應相等，則這兩個三角形全等（ASA全等）.

（推導）如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，則這兩個三角形全等（SSS全等）.

（推導）如果兩個直角三角形的斜邊和其中一條直角邊分別對應相等，則這兩個直角三角形全等.

（證明）在同一三角形中，如果兩條邊相等，則兩個邊的對角相等.

（推導）在同一三角形中，如果兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.

（推導）三角不等式，“角與其所對的邊”的關系，三角形中的不等式.

四邊形（10課時）

（證明）平行四邊形的對角線將四邊形劃分成兩個全等的三角形.

（推導）平行四邊形的兩組對邊分別相等，反之亦然.

（推導）平行四邊形的兩組對角分別相等，反之亦然.

（證明）如果四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形.

（推導）平行四邊形的對角線互相平分，反之亦然.

（推導）一個三角形中，連接其中任意兩邊中點的線段平行于第三邊，反之亦然（推導）.

面積（4課時）

復習面積的概念，回顧矩形的面積.

（證明）夾在同一對平行線之間的有相同的底的兩個平行四邊形面積相等.

（推導）夾在同一對平行線之間的有相同的底的兩個三角形面積相等，反之亦然（即如果兩個同底的三角形面積相等，那么它們一定夾在同一對平行線中）.

圓（15課時）

通過實例，得出圓的相關概念：半徑、周長、直徑、弦、弧度、圓周角.

（證明）在相同的圓中，相等的圓心角所對的弦相等，反之亦然（推導）.

（推導）在一個圓中，經過圓心的弦的垂線平分這條弦，反之亦然（即在一個圓中，如果一條弦的垂線平分這條弦，那么這條垂線經過圓心），過圓心且平分弦的直線垂直于這條弦.

（推導）經過三個不共線的能且只能確定一個圓.

（推導）在同圓（或者等圓）中，相等的弦到所在圓的圓心距離相等，反之亦然.

（證明）等弧所對的圓心角是其所對任意圓周角的兩倍.

（推導）同弧所對的圓周角相等.

（推導）如果連接兩個點與位于這條線同側的另外兩個點間的線段，同弧所對的圓周角相等，則這四點共圓.

（推導）圓內接四邊形的任一組對角的和為180°，反之亦然.

作圖（10課時）

作線段與角的平分線，60°，90°，45°等度數的角，等邊三角形.

已知一底邊、另外兩邊的和或差與一個底角作三角形

已知周長與兩個底角作一個三角形.

第五單元：測量

面積（4課時）

用海倫公式（無需證明）計算三角形的面積，并利用此公式計算四邊形面積.

表面積與體積（10課時）

正方體、長方體、球體（包括半球）、直圓柱體、正圓錐體的表面積和體積.

第六單元：統計與概率

統計（13課時）

統計學介紹：數據的收集，用一下幾種方式表征數據：表格、不分組或者分組、條形圖、柱狀圖（不同的基線長度），頻數多邊形，并定性地分析數據.平均數、中位數、未歸類數據的眾數.

概率（12課時）

介紹概率的歷史知識，在重復實驗中，觀測頻率逐步趨向概率.關注經驗概率.（大量的時間花在集體與個人的實驗活動中，促使概率概念的產生；實驗來自現實生活情境，來自統計中的例子）.

附錄

數學證明

什么是表述；數學中何時表述是有效的.用熟悉的例子解釋公理或者假設.區別公理、猜想和定理.“證明”的概念與性質（強調證明、猜想、假設、邏輯論證的演繹性），能寫出證明.用算術、代數、幾何中的簡單結論的完整論證過程來進一步闡釋演繹證明（例如：兩個奇數相乘，積仍為奇數.）.特別強調檢驗而不是證明.解釋驗證導致錯誤結論的例子——如“每一個大于1的奇數都是質數”等論述.反證法的意義，反例的應用.

數學建模介紹

數學建模的概念，回顧在低年級解決情境問題完成的工作，旨在數學模型，討論數學建模的大致階段：現實情境，設定假設，確定一個適當的模型，解決等價的數學問題，分析結論以及在現實生活中的解釋，檢驗模型.包含比、比例、百分數等例子.

3.2 10年級具體數學課程內容

第一單元：數系

實數（15課時）

歐幾里得輾轉相除法的引理，算法的基本原理——復習已學知識，并通過例子加以闡釋.結論的證明——2，3，5的無理性，有理數的小數表達，用有限小數或無限循環小數的形式.

第二單元：代數

多項式（6課時）

多項式的零解.多項式的零解與系數之間的關系，以二次多項式為例.實系數多項式的輾轉相除法的簡單問題與命題.

二元一次方程組（15課時）

二元一次方程組.不同解法的可能性的集幾何表示.

解的個數的代數條件.二元一次方程組的代數解法——用換元法、消元法、十字相乘法.必須包含簡單的情境問題.簡單的方程問題可化簡為一次方程.

二次方程（15課時）

二次方程的標準式為ax2+bx+c=0，（a≠0）.二次方程（僅實根）的因式分解與完全平方的解法，也就是說，利用二次表達式解方程.判別式與根的性質的關系.

包含與常活動聯系在一起的數學問題.

等差數列（大學先修課程（8課時））

鼓勵學習大學先修課程.推導出數列第n項的通項公式，以及前n項的和的求和公式.

第三單元：三角學

三角學介紹（18課時）

直角三角形中銳角的三角比.證明比率的存在性（定義良好），推導其在0°到90°之間的比率.

30°，45°，60°的三角比的重要性（需證明），以及之間的關系.

三角等式：證明等式sin2A+cos2A=1，并會應用.只需給出簡單的等式.余角的三角比.

高度和距離（8課時）

在高度和距離上的一些簡單且可信的問題.問題中直角三角形的個數最多不超過兩個.仰角或者俯角只能是30°，45°，60°.

第四單元：解析（坐標）幾何

直線（二維）（15課時）

復習已學的解析（坐標）幾何的概念，其中包括一次方程的圖像.有意識對二次多項式進行幾何表示.兩點間的距離公式與定比分點公式（內部的）.三角形的面積.

第五單元：幾何學

三角形（15課時）

相似三角形的定義、例子、反例.

（證明）如果作一個平行于三角形一邊且與另外兩條邊相交的直線，那么這兩條邊以相同的比被分割（被分割成的兩條線段的比相等）.

（推導）如果一條直線以相同的比分割三角形的另外兩條邊，那么這條直線平行于第三條邊.

（推導）在兩個三角形中，如果對應的角相等，那么對應的邊成比例，這兩個三角形也相似.

（推導）在兩個三角形中，如果兩個角的對應邊成比例，那么對應角相等，這兩個三角形也相似.

（推導）如果一個三角形的一個角等于另一個三角形的一個角，且組成這兩個角的對應邊成比例，那么這兩個三角形相似.

（推導）如果從一個直角三角形的直角頂點向斜邊作垂線，那么垂線兩邊的三角形相似且與整個三角形相似.

（證明）兩個相似三角形的面積比等于它們對應邊的比的平方.

（證明）在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和.

（證明）在三角形中，如果一邊長的平方等于另外兩邊和的平方，那么第一條邊對應的角是直角.

圓（8課時）

一個圓的切線是越來越近的點繪制的弦.

（證明）圓上任何點的切線是通過這個點的半徑的垂線.

（證明）從圓外一點所作圓的所有切線的長度相等.

作圖（8課時）

以已知的比例從內部分割線段.

從圓外一點作圓的切線.

作一個已知三角形的相似三角形

第六單元：測量

與圓有關的面積（12課時）

推導圓的面積；圓的扇形部分和弓形部分的面積.根據以上平面圖形的面積和周長出現的題目.（在計算一個圓的弓形部分的面積時，題目的中心角必須限制為30°、60°、90°、120°.平面圖形需涉及三角形、簡單的四邊形和圓）

表面積和體積（12課時）

題目中涉及組合圖形表面積和體積的兩個圖形必須是以下圖形：立方體、球體、半球、直圓柱/圓錐體、圓錐臺.

涉及到轉化一類金屬固體到另一種金屬固體，以及其他的混合題目.（組合類的題目采用的立體圖形不超過兩種）

第七單元：統計與概率

統計（15課時）

分組數據的平均數、中位數和眾數（雙模態的情形應該被避免）累積頻數直方圖

概率（10課時）

概率的經典定義.與在九年級中已知的概率的聯系.簡單事件的簡單問題，不使用集合符號.

附錄

數學證明

在“命題”、“證明”和“論證”概念方面更深入的討論.完整的演繹證明的進一步說明，這些演繹證明使用算術、代數和幾何方面的簡單結果. “已知……假設……證明……”的簡單定理.使用僅有的已知事實（忽略它們的真值）獲得要求的結論方面的訓練.對已知結果/命題的“逆命題”、“否命題”、構造已知結論/命題的逆命題和否命題.

數學建模

強化數學建模的概念，使用忽略限制的模型的簡單例子.考慮估計確定事件出現的概率和均值.市場公平分期付款的建模，使用簡單的利率和期值（大學先修課程）.

參考文獻

[1] 安雙宏.印度教育60年發展的成就與問題評析——基于教育政策的視角[J].比較教育研究，2011（6）：67.

[2] National Curriculum Framework 2005[EB/OL] .http：//www.ncert.nic.in/index.htm.

[3] 顧明遠，梁忠義.世界教育大系·印度教育[M].長春：吉林教育出版社，2000：209.