例題、習題中數學活動素材的開發

數學活動，是指以在教學過程中構建具有教育性、創造性、實踐性的學生主題活動為主要形式，以激勵學生主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創造為基本特征，以促進學生整體素質全面提高為目的的一種新型的教學觀和教學形式.《義務教育數學課程標準》中提出：“讓學生獲得廣泛的數學活動經驗”.隨著新課程改革的進一步推進，數學活動已成為中小學課程改革的熱點話題，亦成為眾多中小學校探尋素質教育的一條行之有效的途徑.然而落實到操作層面上，我們發現大多數的數學活動還只是一種形式，真正有意義的“活動”很少.究其原因，主要是教師對教材中數學活動的素材開發感到困難.事實上，在初中數學課堂教學中設計數學活動，素材是一個重要的因素，素材選擇是否恰當，將直接影響數學活動的實施，影響數學創新精神和創造能力的培養.文章擬結合教學實踐，具體針對例題、習題中數學活動素材的開發談談個人的看法.以期對廣大教育工作者提供一點可借鑒的思路.

1 數學活動的涵義

數學活動首先是“數學”的，所從事的活動要有明確的數學目標，沒有數學目標的活動不是“數學活動”.

其次是“活動”的，蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾認為：數學教學是數學活動的教學，也是思維活動的教學.那么包括抽象思維、數學證明、數學解題在內的整個數學教學活動都是“數學活動”，這種說法過于泛化.我理解的數學活動主要是對數學材料的具體操作和形象操作探究活動.

例題、習題教學屬于“客觀性知識”，教學的重要環節，更重要的是過程的教學，必須結合具體活動讓學生在數學學習活動中去“經歷過程”，重視對數學活動經驗的積累.

2 開發例題、習題中數學活動素材的主要原則

數學教材都配有大量的例題和習題，我們必須認真鉆研教材，將課本中一些封閉型問題改造成開放性問題，引導學生通過聯想、類比、推廣、演變來研究問題.這是數學活動最易得的素材.挖掘例題、習題中數學活動素材，應遵循一定的原則才能體現數學活動的教學目標與教育價值.

2.1 例題、習題中數學活動素材的選擇要體現靈活性與開放性

根據數學活動的內涵，數學活動的設計必須采用豐富的活動形式和靈活的教學模式，如：觀察、實驗、操作、調查、分析、交流和總結等；素材的來源也應是開放的，可以是學生從活動的過程中發現新的問題，學生可以通過查閱相關的資料，尋找自己感興趣的問題提出問題；活動的主體可以是個人，也可以以小組的形式開展活動.在教學中，我們不僅關注學生獲得的結果，更應關注學生解決問題的過程和情感體驗，發揮組織者、引導者、合作者的作用.

2.2 例題、習題中數學活動素材的呈現要注意目的性與層次性

從數學活動的目標指向上分析、展開，數學活動才是更具意義的.我們應盡可能地使開發的素材具有明確的目標指向，讓學生經歷一個實踐、探索和研究的歷程；素材還要有一定的層次性，注意不同層次學生活動方式與能力的差異，激發學生的活動興趣，這樣才能為全體學生提供深入探究和創造的機會，發展他們的鉆研精神.

2.3 例題、習題中數學活動素材的展開要注重主體性與實踐性

學生是學習的主體，這一特點在數學活動中更為突出，活動實施應以問題為載體、以學生自主參與為主.它有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授.它是教師通過問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動.在教學中應突出“動”和“用”兩個字，引導學生在活動中思考，在實踐中應用.在數學活動中，給學生以探索的空間和適當的時間，讓學生用自己的思考、策略去解決問題.對探索有困難的同學，教師可以給予適當地指導，使其積極參與進來，防止學生之間產生分化.通過這樣的活動過程，更好地感受知識的價值.

總之，開發例題、習題中的數學活動素材應該是開放的.展開素材應給予學生一定的自主性，并給不同意見的學生提供充分表達的機會，積極拓展學生的學習空間，優化學生的活動方式與過程，發展學生的數學活動經驗.

3 開發例題、習題中數學活動素材的一般策略

現代教育研究表明：學生創新意識的培養、創新能力的提高，不是通過教師講解、灌輸達到的，而更多的是通過自己的探究和體驗得來的.因此教師在設計例題、習題教學活動時應為學生提供探究的時空，盡可能放手讓學生“動”起來，才能讓學生“活”起來，有效的辦法是：變“先講后練”為“不講先試”，可能有許多老師有顧慮：連例題都不講，學生能嘗試嗎？嘗試能成功嗎？蘇霍姆林斯基說：人的內心有一種根深蒂固的需要——總感到自己是一個發現者、研究者、探索者，年齡越小，這種欲望愈強.在嘗試的基礎上進行小組討論交流，交流各自獨立探究中的成敗體驗，相互提問，對疑惑處共同探討，力求借助小組智慧合作解決，在這個過程中，教師要加強巡視，及時捕捉學生各種信息，如思維的阻塞點、遺漏點等，作適當的點撥，從而讓更多學生體驗到成功的愉悅.當然，解完題后，要引導學生對解題過程進行小結、反思；概括解題規律、提煉數學思想方法.同時亦要對題目進行拓展，如削弱、強化已知條件，變換幾何圖形位置，改變問題結論等等.從而使學生對知識融會貫通，思維得到進一步發散.下面結合實例，談談如何開發例題、習題中的數學活動素材.

3.1 開發有利于增強學生學習興趣的例題、習題活動素材

在數學課堂教學中，例題、習題的講解往往是比較枯燥的，容易令學生乏味.如果教師在平時教學中，能多挖掘例題、習題中的趣味性的活動素材，更容易激發學生的興趣，提高課堂的參與度.

比如，將一枚一元硬幣放在同樣大小的另一枚硬幣上，無滑動地滾動一周，則這枚硬幣自轉了幾周？首先讓學生獨立嘗試：我們來共同探索一個十分有趣的問題，請大家拿出2枚一元錢硬幣，將其中一枚硬幣放在另一枚硬幣上，無滑動地滾動一周，則這枚硬幣自轉了幾周？巡視過程中，多數學生迫不及待地進行動手實驗.匯報交流環節中，沒有動手實驗的學生回答：由于兩枚硬幣周長相等，因此它自轉了一周.動手實驗的學生中也有一部分贊同這種說法，他們的理由也是周長相等.繼續提問：還有不同答案嗎？反對派立即進行還擊“是兩圈”，理由是他們只關注硬幣本身轉了幾圈，而沒有關注周長是否相等.通過數學實驗很容易解決此題，這道題的講解本可就此結束.但認為是一周的學生求知欲剛被點燃，認為是兩周的學生也只是觀察發現，他們均尚未窺探其中的奧妙，因此不能草草收場.教師應該進一步挖掘：我們再來看這樣一個問題，如圖1，一個半徑為1的圓，在邊長為2π的等邊三角形的邊上滾動一周后回到起點，則這個圓自轉了幾周？少數學生直接回答3周，也有學生立即反駁，在三個頂點處是需要拐個彎過來的，因此肯定超過3周，繼續深入很容易發現三個頂點處都拐了120°，因此自轉了4周.再進行反思拓展：通過兩個問題的對比會發現什么樣的結論呢？引導學生發現本質：不論在平面還是曲面上，圓滾動后自轉

幾周的問題，其實就是看圓自身前進的距離等于幾個周長，因此關鍵

是看圓心，圓心走的距離就是圓前進的距離.其實，學生一開始用周

長相等解決問題，就已經從圓前進的距離入手解決問題，只是認知上

存在一些差異，通過后續開發的探究活動，不僅糾正了這個錯誤，還揭示出問題的本質.

圖1

通過這樣有趣的數學活動，學生既學到了知識，又體驗到探究的過程和研究的方法，提高了創造能力，培養了創新意識.另外，在這樣的數學活動中，常會產生生成性知識，它往往是數學活動的好素材，要智慧利用它們的生成價值.

3.2 開發有利于思維活動展開的例題、習題活動素材

例題、習題教學的本質是提高學生的思維能力，因此，開發例題、習題的數學活動素材要在能展開學生的思維活動和解題后反思上下功夫.圖2

比如，已知：如圖2，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交CD的延長線于點F.

求證：AM=DM.

我們可以設計如下活動來展開學生的思維活動：由條件能推出什么結論？（條件A），證明結論需要什么條件？（B結論），A與B存在目標差，怎樣減少目標差呢？

第一，首先引導學生從理解題意中捕捉有用的信息，也就是從題目的兩個基本構成去充分理解已知條件：（1）從題目的文字中獲取符號信息：E為中點，AC⊥ME；（2）從題目的圖形中獲取形象信息：AC為角平分線，或BD⊥AC，或四邊相等.這時教師進行小結：這兩個形象信息不是題目敘述直接告訴我們的，而是我們通過圖形間接感知的.標出得到的信息，就溝通了已知與未知的聯系，所以兩個圖有本質的區別！從圖形中提取，過濾出形象信息是平面幾何的基本功.有時候，難就難在怎樣提取，妙就妙在恰當過濾.

第二，引導學生從記憶儲存中提取有關的信息，以作為解題繼續進展的依據.這時學生通過合作交流得到：（1）證明兩條線段相等的方法；（2）有兩條線重合的三角形是等腰三角形；（3）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（4）基本圖形.

自覺地，教師堅持不懈地進行這樣的結構分析，將有效提高學生理解題意的能力，將綜合提高學生運用知識，調動方法的能力.這樣學生就自然產生了多種解法：

解法一 聯想角平分線，可證△AMN≌△AEN得AM=AE；解法二：運用等角對等邊，得AM=AE；解法三：聯想AC⊥BD EFDB AE

瘙 綊 DF AM=DM 或證△AEM≌△DFM AM=DM，進一步思考：以上解法還沒有從整體上抓住題目的本質特征，事實上ME為△ABD的中位線.由此得到解法四：由EM∥BD，E為AB的中點，得AM=DM.

得到解法之后，千萬不能認為這個環節就結束了，這時教師應引導學生進行解題后的反思，這是例、習題教學中又一個很好的數學活動.比如針對這道題，教師可以詢問學生解題中遇到的最大的困難是什么？學生肯定是說找不到解題的突破口，連下手的地方都沒有，這說明學生在很大程度上是不會找目標差，或見到目標差卻不能做出反應，還有的同學常在成功的道路上受阻，其原因是不善于把目標差的逼近積累起來.這時教師就結合這道題目與學生一起歸納減少目標差的方法：

（1）從理解題意中捕捉有用的信息，主要是從題目的敘述中獲取“符號信息”，從題目的圖形中獲取“形象信息”；（2）從記憶儲存中提取有關的信息，主要是定理、公式，基本模式等解題依據或解題憑借；（3）將兩組信息進行有效的組合，使之成為一個和諧的邏輯結構.這三件工作：“有用捕捉”、“有關提取”、“有效組合”，恰好對應著人的心理活動的三個環節：觀察實驗、聯想轉化、推理論證.

通過學生思維活動的展開和解題后反思等數學活動，調動學生數學學習的積極性，學生的思維能力和創新意識也得到有效發展.

3.3 開發有利于揭示數學本質的例題、習題活動素材

中考命題十分重視課本例題、習題的開發再利用.這就要求教師在平時教學中精心設計和挖掘課本例題、習題，編制一題多變、一題多解、一題多用、多題一法的變式練習.這也是開發例題、習題中活動素材的重要手段之一.一題多變要充分給予學生自主空間，從而提高學生思維的開放性、廣闊性，總結歸納要能讓學生主動構建數學模型及解題策略，從而感受數學的根源及本質.

比如，如圖3，學校教學樓CE旁有一根旗桿AB，某同學在樓頂C處測得旗桿頂部A的仰角為30°，測得旗桿底部B的俯角為45°，問題：如果BE=9m，求旗桿AB的高度.

圖3 圖4 圖5

首先通過以上問題，讓學生回顧解決與邊長、角度有關的問題常用的解題思路：轉化為直角三角形問題解決.接著，進行開放性變式：請你借助已有圖形，設計一個條件和問題？在平時的例題教學中，學生大多處于被動狀態，現在給予學生出題的機會，積極性驟然增長，氣氛立即活躍起來.學生的設計有：已知CE，求AB；已知AB，求CE.學生自己設計的題目，解決起來自然也高興.通過學生設計變式活動的環節，復習了直接解直角三角形的知識，回顧了用方程思想解決雙直角模型問題.學生的學習積極性被充分調動，主體性得到增強.然后通過改變圖形繼續變式，如圖4，已知CE求AB，讓學生繼續探究.此處設計的問題可一題多解，可以先證明AC=CE，再求出AB，也可以過A點作CE的垂線段，再利用方程思想解決.這樣的變式提高了學生靈活運用知識解題的能力.然后變式為圖5，已知CF及BD的長，求BE.這個探究問題比較困難，要給學生充足的思考時間，有了前面變式練習的基礎，課上不少學生能想到過點B作CD的平行線解決問題.

至此，一道習題教學活動看似已經完成，但學生此時獲得的經驗還比較離散、模糊.因此，必須增加反思活動，這是一個完整的數學活動應該具備的環節.通過教師點撥學生反思歸納：解決與邊長、角度有關的問題常用的解題思路：轉化為直角三角形問題，具體操作優先考慮直接解，再考慮利用方程思想間接解.反思的環節就是將學生的活動經驗外顯，從而將離散、模糊的經驗變得更加清晰、有條理.通過逐步加深的變式練習和學生的總結，已經將一個一般的解題思路轉變成了學生的解題套路.變式的背景可以千變萬化，但根源往往不變，這就是數學的本質.這樣開發例題、習題中的數學活動素材，會對學生的解題能力產生重要影響，對數學學習方式、方法的領悟多有助益.

3.4 挖掘有利于滲透數學思想的例題、習題活動素材

“知識鏈”通過“變式”練習可形成知識網絡，再經過數學思想方法的提煉，就能形成立體的知識模塊.數學思想方法才是數學的靈魂，只有進行思想方法的滲透，才能將數學冰冷的形式演繹變得生趣盎然易于接受.通過數學活動讓學生掌握一種思想方法是數學活動的重要意義，思想方法的掌握就是數學活動經驗的發展.

比如，解方程x2-2x=0.首先設計一系列開放性的交流活動：（1）你會解哪些方程？（2）你能解哪些一元二次方程？你是如何解的？（回顧直接開平方法.）（3）解x2-2x=0的困難在哪里？（4）你能將x2-2x=0轉化成一元一次方程嗎？多數學生能想到解決方法，先在方程左邊提取x將方程變形為x（x-2）=0，然后轉化為一元一次方程x=0或x-2=0解決問題.（5）你能將x2-2x=0轉化為可以直接開平方的形式嗎？此處先進行小組討論，再交流匯報成果，多數小組能想到將方程左邊配成完全平方式，轉化為直接開平方的形式.不管是將x2-2x=0轉化為一元一次方程，還是轉化為直接開平方的形式，其本質都是將待解決的問題轉化為已經解決的問題求解，巧妙地將化歸思想清晰地呈現出來.數學問題大多數可以通過化歸求解，如果我們在例題、習題的教學活動中能盡可能明晰這樣的思路，經過長期的熏陶及體驗，學生一定能形成化歸的經驗，從而最終內化為解決數學問題的圖式.這就是積累數學活動經驗的目的.

在挖掘例題、習題中數學活動素材的時候，一定要注意以學生為主體，提供給學生充分的探索空間和時間，體會解題的一般過程，建構基本數學模型，形成解題思想方法，并體驗解決問題的成功感和愉悅感.通過數學活動幫助學生感悟并積累豐富的活動經驗，為下次解決同類問題提供可借鑒的經驗，發展學生的思維能力及創新能力.要有效開發例題、習題中的數學活動素材，還需要廣大教師繼續探索和創新.

參考文獻

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