以勾股為基，構(gòu)建初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)體系的設(shè)想

1 問題的提出

我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)60多年來，變來變?nèi)ィ瑤缀鯚o時(shí)不在“改革”之中.尤其以

幾何內(nèi)容的處理，莫衷一是.在為學(xué)生“減負(fù)”的借口下，幾何成了主要靶子，每次都是精簡(jiǎn)的對(duì)象，把幾何內(nèi)容幾乎減得“體無完膚”，一部平面幾何，簡(jiǎn)直是面目全非.現(xiàn)在我國(guó)最新的“課改”的初中數(shù)學(xué)課本，已無幾何知識(shí)體系之可言.所謂“幾何”者，無非是看看圖形，折疊紙張，計(jì)算線段長(zhǎng)短、面積大小而已.至于說“學(xué)幾何培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維”之說，早已經(jīng)不知所云了.

但是，初中是我國(guó)所有公民必須接受的義務(wù)教育，初中數(shù)學(xué)是學(xué)生最為重要的基礎(chǔ)知識(shí)，初中數(shù)學(xué)教育是我國(guó)公民基礎(chǔ)教育的基礎(chǔ).對(duì)那些不能繼續(xù)讀書而走上社會(huì)的未來公民來說，初中數(shù)學(xué)就是他們以后賴以生存的“心中有數(shù)”之?dāng)?shù)了.所以，對(duì)待初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的選擇和安排，是有關(guān)國(guó)家未來，有關(guān)眾多公民生存權(quán)的大事，馬虎不得.

眾所周知，幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的重要意義在于，對(duì)青少年的邏輯思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng).在幾何教學(xué)中，學(xué)習(xí)邏輯推理，是不可替代的.像現(xiàn)在新初中數(shù)學(xué)課本那樣，只是看圖計(jì)算，并不是幾何教學(xué)基本目的所在.但是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的邏輯推理和幾何證明，確實(shí)又存在困難.幾何教學(xué)又必須進(jìn)行改革.如何改革呢？除了刪減幾何知識(shí)體系，去掉幾何推理和證明，就別無出路了嗎？——非也.我們可以在幾何知識(shí)體系本身的“優(yōu)化”做些文章.

早在40多年前，張景中院士就進(jìn)行過嘗試：用三角形面積公式作為突破口，構(gòu)建初中幾何知識(shí)新體系，以面積計(jì)算公式為幾何推理的幫手，把幾何推理和證明，歸結(jié)為幾何演算.以后他又將此方法推而廣之，發(fā)展為一套幾何新知識(shí)體系，寫成專著《幾何新方法和新體系》.[1]

但是，張?jiān)菏康南敕ê妥龇ü倘缓茫瑢?shí)行起來也有困難之處.我們?cè)趯Ｖ鳾2]中有過分析.第一，計(jì)算不能完全代替邏輯推理，不能將面積公式方法進(jìn)行到底；第二，如果計(jì)算完全代替邏輯推理，則幾何教學(xué)的本意又將失去.這就使我們處于兩難的境地.

難道.除此以外就沒有別的路可走了嗎？不然.我們又從我國(guó)古算中得到啟示，用勾股和勾股術(shù)作為基礎(chǔ)，試圖構(gòu)建起初中幾何新的知識(shí)體系.

我們的設(shè)想是：初中幾何知識(shí)內(nèi)容，在小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)基本幾何圖形的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，限于三角形、多邊形和圓，而以三角形為重點(diǎn).主要講全等三角形、相似三角形、解直角三角形，簡(jiǎn)單幾何測(cè)量.

在上述幾何知識(shí)中，以邏輯推理作為關(guān)聯(lián)，建立起幾何知識(shí)的邏輯體系，把邏輯推理，寓于實(shí)際問題及其解決之中.以實(shí)際問題作為引導(dǎo)，從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)命題和計(jì)算公式，把直觀與推理相結(jié)合，使邏輯與計(jì)算相結(jié)合.在解決實(shí)際問題中，建立起幾何知識(shí)的理論體系，在解決問題中，進(jìn)行邏輯推理的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練.

2 中國(guó)幾何學(xué)的歷史源頭

中國(guó)古算源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，而自具特點(diǎn)，那就是以問題和問題解決為目標(biāo)，建立的算法體系，寓理于算.幾何形象與數(shù)的算法緊密結(jié)合，將邏輯推理與直觀的合情推理結(jié)合，理論與解決實(shí)際問題相結(jié)合，構(gòu)建具有中國(guó)特色的數(shù)學(xué)理論體系.這種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)體系構(gòu)建，避免了單純邏輯推理的堆砌，降低了學(xué)習(xí)的難度，適合于中小學(xué)學(xué)生的思維特點(diǎn).在構(gòu)建初中數(shù)學(xué)、尤其是幾何知識(shí)體系中，我們完全可以借鑒.以下就是我國(guó)古算中有關(guān)幾何內(nèi)容的簡(jiǎn)單引述，以作為我們以后討論的基礎(chǔ).

2.1 勾股，實(shí)用的產(chǎn)物

勾股定理，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上的第一定理.但是，它在東西方的數(shù)學(xué)發(fā)展史上的作用和地位，卻大不相同.中國(guó)古代，勾股定理是歸納的結(jié)果，來源于人類進(jìn)行實(shí)際測(cè)量（例如測(cè)量日影，興修水利測(cè)量地勢(shì)高下等）的實(shí)際活動(dòng).在古希臘，勾股定理則是演繹推理的結(jié)果，來源于幾何理論.

相傳在公元前三千年，中國(guó)大禹治水，左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩.這里所說的規(guī)矩、準(zhǔn)繩，就是測(cè)量地勢(shì)高下，治理水利的工具.其中“矩”是最重要的測(cè)量工具之一.

“矩”是由兩條直木條制作而成的，構(gòu)成直角尺（與現(xiàn)在所見到三角板不同，沒有第三邊——斜邊），如圖1圖1 矩所示.其中較短的邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的則稱為“股”.其作用是用來畫直角和垂線.但只有當(dāng)勾與股這兩邊構(gòu)成直角，才能準(zhǔn)確測(cè)量高低遠(yuǎn)近.如果勾與股不垂直，那么用其來測(cè)量，便會(huì)差之毫厘，失之千里.但是，怎樣才能保證“勾”與“股”這兩邊構(gòu)成直角呢？這是個(gè)非常困難的現(xiàn)實(shí)問題.

矩的另一大作用是用來測(cè)量日影長(zhǎng)度.中國(guó)自古以來就是“以農(nóng)立國(guó)”，農(nóng)作物的種植和收成，與季節(jié)關(guān)系極大.為了把握農(nóng)時(shí)，制訂歷法就十分重要.而歷法的制訂，首先要確定一年的起始點(diǎn).一年的時(shí)間循環(huán)往復(fù)，不知始終.起點(diǎn)如何確定呢？人們通過長(zhǎng)期觀察，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同樣一個(gè)人，或者一顆樹，不同季節(jié)里的日影長(zhǎng)度發(fā)生周期性變化.一年中有一天的日影最長(zhǎng)，這一天定為冬至日；又有一天的日影最短，這一天定為夏至.因?yàn)槿沼伴L(zhǎng)時(shí)易于觀測(cè)，于是便將冬至確定為一年（回歸年）的起始點(diǎn).從冬至點(diǎn)到下一個(gè)冬至點(diǎn)，定為一個(gè)回歸年.

那么，如何來測(cè)定日影比較準(zhǔn)確呢？這又是個(gè)大難題.因?yàn)椋绻沼皽y(cè)量不準(zhǔn)確，一年的開頭日子，就不準(zhǔn)確，回歸年的長(zhǎng)度就不準(zhǔn)確，農(nóng)時(shí)安排就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而影響農(nóng)業(yè)收成.要想將日影長(zhǎng)度測(cè)量準(zhǔn)確，首先要用同樣一根長(zhǎng)度不變的測(cè)量標(biāo)桿（稱為表），將其直立于地面（即表與地平面垂直）.這又發(fā)生問題——怎樣才能判斷表與地面垂直呢？經(jīng)過人們長(zhǎng)期觀察和試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)：如果直立的標(biāo)桿只要兩次與日影（看作一根木條或一條線段）垂直，那么這根樹立的標(biāo)桿就一定與地面圖2 用二矩確定垂 直地面示意圖垂直（這就可以看作是一條公理）.于是想到了“矩”.其辦法是：將兩個(gè)矩的直角頂點(diǎn)和一邊（例如股邊）重合，另兩條邊（勾邊）相交成一個(gè)角度，將其放到地面上，如果兩條勾邊均平落在地面上，那么，矩的股邊就垂直地面.此時(shí)將標(biāo)桿與矩的股邊重疊，就確定了表與地面的垂直位置.（如圖2所示）.

2.2 從勾三股四弦五到勾股定理

我們的祖先，在多次試驗(yàn)和實(shí)踐，經(jīng)過無數(shù)次失敗之后，終于發(fā)現(xiàn)了“勾三、股四、弦五”的真理！即取勾長(zhǎng)為三單位，股長(zhǎng)為四單位，若能用一根五單位長(zhǎng)的繩子將勾與股的兩端恰好連接成“弦”，那么，這勾、股兩條邊，就一定垂直.由此定理（實(shí)際上是勾股定理的逆定理），便能夠很方便地制作標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量工具——“矩”.這真是個(gè)了不起發(fā)現(xiàn).大家不要以為“勾三、股四，弦五”這只不過是勾股定理的特例，并不能算是發(fā)現(xiàn)了勾股定理.其實(shí)，這卻是勾股定理的最重要的特例.而且這是中國(guó)古代勞動(dòng)群眾，在長(zhǎng)期勞動(dòng)實(shí)踐中的偉大創(chuàng)造.人們利用這一發(fā)現(xiàn)，才能判定和制作兩邊垂直的矩，也只有用這樣標(biāo)準(zhǔn)的“矩”，才能進(jìn)行準(zhǔn)確的測(cè)量，判定地勢(shì)的高低遠(yuǎn)近，才能治理水患.我們可以這樣合情推理：人們正是從這簡(jiǎn)單的特例，逐步發(fā)現(xiàn)勾股定理的一般情形.而反過來，若直接用勾股定理的一般情形，是絕對(duì)制作不出來兩邊垂直之“矩”的.

3 初中幾何教材的構(gòu)想

第一章 關(guān)于點(diǎn)、線、面的基本公理：

作為邏輯的起點(diǎn)，必須有一些人所共知的基本認(rèn)識(shí)，規(guī)定為公理.在小學(xué)幾何圖形觀念的基礎(chǔ)上，可以提出以下幾何公理作為幾何邏輯推理的基礎(chǔ)：

（1）平面上任何兩點(diǎn)，可以連成一條直線；

（2）在任意一條直線的上可以取任意長(zhǎng)度的線段，線段有兩個(gè)端點(diǎn)；

（3）任意一條線段，可以向兩端任意延長(zhǎng)；

（4）任意兩條直線可以相交于一點(diǎn)，也可以不相交.不相交的兩條直線a，b，叫做平行線，記作a∥b.

（5）過直線外一點(diǎn)，可以作，也只能作一條平行線.

（6）相交的兩條直線a，b.如果沿其中一條直線對(duì)折，另一條直線兩部分（射線）重合，則稱此二直線垂直，記作a⊥b.（注意：不可以先用90度角來定義直角！）

（7）以任意一點(diǎn)O為心，以任意長(zhǎng)度R為半徑，可以作一圓，記為⊙（O，R）.

（8）從一點(diǎn)出發(fā)的兩條直線構(gòu)成一角，指定一面為角的內(nèi)側(cè)，另一面則為角的外側(cè).

（9）如果角的兩邊互相垂直，則稱此角為直角.凡直角皆相等.

（10）規(guī)定直角的九十分之一為1度角，記為1°.四個(gè)直角，構(gòu)成一個(gè)周角，二直角為一平角.故1周角=360°，1平角=180°.

第二章 基本幾何作圖

幾何作圖，在《幾何原本》中地位很重要.五個(gè)幾何公理中，前三個(gè)都是幾何作圖（作直線，作線段，作圓），在其余各章中也有大量的幾何作圖問題.特別是希臘三大幾何問題（三等分角、二倍立方，化圓為方）都是幾何作圖問題.

在我國(guó)五六十年前高等師范學(xué)院經(jīng)典教科書《平面幾何復(fù)習(xí)和研究》（梁紹鴻編著）中，幾何作圖題，也占有很大比重；其中不少難題，均是幾何作圖問題.

但是，現(xiàn)在課改后的初中數(shù)學(xué)教材里，卻難見幾何作圖問題，甚至基本作圖（如作線段中點(diǎn)、作角平分線）都沒有正式出現(xiàn).這真是奇怪.其實(shí)，幾何作圖問題，不僅是幾何學(xué)重要內(nèi)容，而且其本身有很大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.例如，圖案設(shè)計(jì)、制作幾何圖形商標(biāo)，就首先要有幾何作圖技能，要有幾何作圖的規(guī)范.所以，在初中數(shù)學(xué)教材里，講述幾何作圖問題，是不可缺少的內(nèi)容.

在小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)基本幾何圖形初步認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，首先要教會(huì)學(xué)生正確使用幾何作圖兩種基本工具——圓規(guī)和直尺.然后可以講述以下簡(jiǎn)單的基本作圖方法：

（1）作一線段中垂線；

（2）作一線段的中點(diǎn)；

（3）過直線外一點(diǎn)，作平行線；

（4）過直線外一點(diǎn)，作垂線；

（5）作一個(gè)直角；作一個(gè)角等于已知角；

（6）將圓周六等分，作正三角形，作正六邊形.

（7）作三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心.

（8）作三角形內(nèi)切圓、外接圓；

（9）求作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作多邊形關(guān)于直線的對(duì)稱多邊形；作關(guān)于定點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形；

（10）求作三角形的費(fèi)馬點(diǎn)（費(fèi)馬點(diǎn)良好的幾何性質(zhì)，在實(shí)際中有很好的應(yīng)用）；等.

第三章 從勾股定理到勾股術(shù)、解直角三角形

中國(guó)古代的先賢們，不僅利用勾股定理（及其逆定理）制作標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量工具——矩，而且巧妙地利用“矩”或聯(lián)合利用兩個(gè)矩，進(jìn)行各種復(fù)雜的測(cè)量工作，把勾股定理，發(fā)展成為一套解直角三角形的系統(tǒng)方法——勾股術(shù)（《九章算術(shù)》第九章）.

由a、b為勾股的直角三角形，稱為“勾股形”（或簡(jiǎn)稱為勾股）；以a、b為長(zhǎng)、寬的矩形，稱為勾股積.勾股術(shù)的應(yīng)用，是以下列數(shù)學(xué)基本原理和基本算法為依據(jù)的：

1.基本原理：

1°.（出入相補(bǔ)原理）兩個(gè)圖形分別分成個(gè)數(shù)相同、彼此面積相等若干部分，那么這兩個(gè)圖形的面積相等.

2°.矩形面積公式：以a、b為長(zhǎng)寬的矩形，其面積S=ab.

3°.平行四邊形面積公式：以a、h分別為底邊和高的平行四邊形面積S=ah.

4°.三角形面積公式：以a、h為底邊和高的三角形面積S=12ah.

5°.矩形對(duì)角線將其分成兩個(gè)等積勾股形.

6°.過矩形對(duì)角線上任意一點(diǎn)作二平行兩邊的平行線，將矩形分成四個(gè)矩形，其中不含對(duì)角線的矩形面積相等.圖3 勾股積

如圖3，在矩形中，被對(duì)角線分成兩個(gè)大直角三角形；再被二平行線分成兩個(gè)矩形和四個(gè)小三角形.因其中△1=△2，△3=△4；所以知P=Q.

2.勾股定理和勾股術(shù)公式的證明

勾股定理證明：中國(guó)古代用的是直觀方法——面積出入相補(bǔ).圖4

先舉趙爽的弦圖證法.弦圖如圖4：以弦長(zhǎng)為邊作正方形，以四邊為弦， 作四個(gè)勾股形，中間正好構(gòu)成一個(gè)小正方形——稱“黃方”，其面積為勾股差的平方.于是便有等式：

弦方=4勾股+黃方=4勾股+勾股差方

若用a，b，c表示該勾股形的三邊勾、股、弦，那么上述關(guān)系即為

c2=4×12ab+（a-b）2

=2ab+（a2-2ab+b2）=a2+b2.

此即勾股定理的結(jié)論.圖5 劉徽?qǐng)D證

劉徽也給出過一個(gè)圖形證明法（如圖5）：

將勾方、股方和弦方如圖5安置，勾方與股方合起來，與弦方加以比較：在弦方以外有三個(gè)勾股形，分別為“1出”、“2出”、“3出”；而弦方內(nèi)有三個(gè)勾股空缺.將外出的三個(gè)勾股形，移入“1入”、“2入”、“3入”，正好“出入相補(bǔ)”.因此勾方與股方之和，等于弦方.這便證明了勾股定理的結(jié)論.

類似于此的圖證法，后世數(shù)學(xué)家有多種設(shè)計(jì).包括國(guó)內(nèi)外發(fā)現(xiàn)的已知的圖證法，竟有多達(dá)百種.作為數(shù)學(xué)活動(dòng)，這可以讓學(xué)生來一試身手.

3.勾股術(shù)

在勾股形中，除三邊勾、股、弦以外，還有勾股和、勾股差（實(shí)際是大股減去小勾的差，下同），股弦和、股弦差，勾弦和，勾弦差，共計(jì)9個(gè)量.若已知其中任意兩個(gè)量，就可以求出其他7個(gè)量.這就是通常的所謂“解直角三角形”.

利用以下公式，可以完成各種類型“解直角三角形”的問題.這在中國(guó)古算書《九章算術(shù)》中都有相應(yīng)的例題.略舉如下：

問題1 今有竹高一丈，末折抵地，去本3尺.問折斷處高幾何？（如圖6所示）圖6 折竹圖 圖7

分析 竹折斷后觸地，構(gòu)成一勾股形，已知股弦和與勾，求股.

解 因已知股弦和=10尺，故只需求得股弦差即可.為此，作圖7如下：置股方于弦方內(nèi).移股方外之左邊小矩形于右下，則由弦方-股方=勾方=股弦和×股弦差，

由是有

得：股弦差=勾方股弦和.

于是，由股弦和-股弦差=2股，知：股=股弦和方-勾方2×股弦和.

將有關(guān)數(shù)值代入，便求得答案：股=4尺又二十分之十一尺.

由勾股定理和上述公式，求解直角三角形的所有問題，都可以得到解決.

第四章 三角形全等與相似

先定義全等勾股、相似勾股，再推向一般三角形的全等和相似.

定義1（全等勾股） 兩個(gè)勾股形△ABC和△A′B′C′，若對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊也相等，則稱這兩個(gè)勾股形全等.

公理1（全等勾股形判定） 若兩個(gè)勾股形△ABC和△A′B′C′有一邊及一角對(duì)應(yīng)相等，則二者全等，記為Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HA）；若有兩邊對(duì)應(yīng)相等，二

者亦全等（HL）.

由此容易推出下列定理：

定理1（三角形全等判定）：若兩三角形△ABC和△A′B′C′中，有二角夾一邊對(duì)應(yīng)相等，則此二三角形全等（ASA）；或有二邊夾一角對(duì)應(yīng)相等，二三角形亦全等（SAS）；或三邊相等，二三角形亦全等（SSS）.

證明 過三角形一角頂點(diǎn)作底邊垂線，將其分為兩個(gè)勾股形，則容易分別證明兩對(duì)對(duì)應(yīng)勾股全等.由此便知對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，故原二三角形全等.

定義2（相似勾股） 兩個(gè)勾股形（直角三角形）△ABC和△A′B′C′，其中C、C′為直角頂點(diǎn).若二者對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則稱這兩個(gè)勾股形相似，記為Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.

公理2（相似勾股形判定）：若二勾股形△ABC和△A′B′C′除直角外有一角相等，則二者相似.

由此定義可以推出一般三角形相似的判別準(zhǔn)則：

定理2（相似三角形判定） 若兩個(gè)三角形△ABC和△A′B′C′中，有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

實(shí)際上，設(shè)三角形△ABC和△A′B′C′中，角B、C與B′、C′分別相等，過A、A′向底邊作高AD、A′D′，把三角形分成兩個(gè)勾股形.則兩對(duì)勾股形一定相似，故原來而三角形△ABC和△A′B′C′相似.

以上定理，可以讓學(xué)生自己進(jìn)行推理，或由師生共同探究證明.

選擇適當(dāng)三角形證明題和作圖題，作為上述理論的應(yīng)用.如研討三角形四心的某些性質(zhì)，并利用其來解決其他幾何問題.

定理3（三斜求積公式） 知道三邊長(zhǎng)，求三角形的面積公式：

圖8 三斜求積圖中國(guó)南宋時(shí)數(shù)學(xué)家秦九韶在所著《數(shù)書九章》中，用勾股術(shù)求得由三角形三邊表示其面積的“三斜求積公式”.十分精彩.

設(shè)三角形ABC三邊分別為“大斜”（a）、“中斜”（b）和“小斜”（c），過大斜邊所對(duì)頂點(diǎn)作高h(yuǎn).則構(gòu)成兩個(gè)勾股形，如圖8.

底邊被分成兩部分，分別看作是某勾股形之弦和股.于是已知弦+股=a，勾2=弦2-股2=（b2-h2）-（c2-h2）=b2-c2，

由前面例題可知：

股=股弦和方-勾方2×股弦和=a2-（b2-c2）2a，

因此，h2=c2-股=c2-a2-（b2-c2）2a2，

所以S（ABC）=12ac2-a2-（b2-c2）2a2.

經(jīng)過恒等變換，容易證明上述公式，與“海倫公式”：

S（ABC）=pp-ap-bp-c.

等價(jià).其中p為三角形的半周長(zhǎng).它們的等價(jià)證明，可以請(qǐng)同學(xué)完成.

雖然秦九韶公式不如海倫公式對(duì)稱，但在實(shí)際應(yīng)用上，特別是當(dāng)三角形三邊為無理數(shù)時(shí)，秦九韶公式具有明顯的優(yōu)點(diǎn).

第五章 幾何測(cè)量——勾股術(shù)的應(yīng)用

劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)，在第九章“勾股”之后，將勾股術(shù)發(fā)展為“重差術(shù)”，并舉出九個(gè)遠(yuǎn)距離測(cè)量問題，來說明其方法的運(yùn)用.后人將其專門輯為一本算書——《海島算經(jīng)》.這種不用角的概念的測(cè)量方法，被后人稱為“不用角概念的三角學(xué)”.

問題2 （測(cè)量海島，《海島算經(jīng)》第一題）今有望海島，立兩表齊，高三丈.前后相去千步.令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合；從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何？

說明和分析：這是一個(gè)有實(shí)際意義的測(cè)量問題.島在海中，島的高度如何測(cè)量呢？這確實(shí)是個(gè)難題.我國(guó)3世紀(jì)的數(shù)學(xué)家劉徽，用兩個(gè)“表”做測(cè)量工具，僅用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，便可測(cè)知海島高度.其所用的方法，即為“重差術(shù)”.方法如下：

用兩根長(zhǎng)度為3丈的表（直的測(cè)量標(biāo)桿）立于地上，前后相距1000步，與海島“參相直（兩表與海島立在一條直線上），分別從前、后表退后123步和127步，人目著地，使人眼、表的末端與海島頂峰（即使G、A、E三點(diǎn)共線；B、C、E三點(diǎn)共線）在一條直線上.又補(bǔ)作直線，在圖上連接成若干個(gè)矩形.如圖9所示.

求解：由簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)知矩形面積AF=AH，CF=CK（圖9）.

相減得AD=AH-CK.由矩形面積公式知：

AB×BD=HK×AK-KL×AK=（HK-KL）×AK，而有

AK=AB×BDHK-KL.圖9 重差術(shù)圖

如圖9所示，AB為表的高度，BD為兩表之間距離，HK=GB為后表的“卻行步數(shù)”，KL為前表的“卻行步數(shù)”，而這些都是已知數(shù)據(jù)，故AK的高度可知，加上表的高度，即得海島頂峰之高.于是有以下求海島高度的公式：

島高=表高×表間距前后表卻行步數(shù)之差+表高.

這正是劉徽在《海島算經(jīng)》中給出的求海島高度的公式.

現(xiàn)在通常的情況下，解決這樣的遠(yuǎn)距離測(cè)量問題，都要借助三角測(cè)量.但劉徽卻只用了兩根標(biāo)桿，應(yīng)用面積原理和“重差術(shù)”，就簡(jiǎn)單地解決了.可謂巧妙矣！

如果說本題只用直尺而未用矩的話，那么下面一題，便要利用矩作為測(cè)量工具了.

問題3：（望深谷，《海島算經(jīng)》題4）今有望深谷，岸上仰臥一矩，令勾高6尺，從勾端測(cè)望深谷之底，視線入此矩之股9尺1寸.又置重矩于此矩之上，兩矩之間相距3丈.更從勾端測(cè)望深谷之底，視線入上矩之股8尺5寸.試問谷深幾何？

說明和分析：這是一個(gè)有實(shí)際意義的、從高山測(cè)量深谷的遠(yuǎn)距離測(cè)量問題.若實(shí)際測(cè)量有很大的難度，因?yàn)樯罟仁侨穗y以下到底部去測(cè)量的.這里用的測(cè)量

工具是兩個(gè)“矩”，而且是“仰矩”，即將它的長(zhǎng)邊——股平放，以方便人用眼觀察深谷底部，得出“入股”數(shù)據(jù).兩次用矩觀察深谷所得數(shù)據(jù)是：勾高AB=CD=6尺，下矩入股BE=9尺1寸，上矩入股DF=KH=8尺5寸.兩矩之間距離DB=30尺.要求谷深GF.

解法 連接成若干矩形，如圖10.

由于F為矩形CF對(duì)角線上一點(diǎn)，故

FL=FH；又E為矩圖10形AF對(duì)角線上一點(diǎn)，故EG=EH.因AB=CD，二式相減，得

FI=FH-EH.右邊同減去二者重合部分BK，即得

CD×FJ=FB-EK

=FD×DB-FJ×BH.

而BH為谷深，F(xiàn)J為前后入股之差，CD

為勾長(zhǎng)，F(xiàn)D上股入股深，BD為兩矩之間距離，故可求得谷深

BH=FD×DB-CD×FJFJ.

=上股深×矩間距離-勾長(zhǎng)×上下股深差上下股深差

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即求得谷深為21丈9尺.

為配合本章內(nèi)容的教學(xué)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生制作測(cè)量用的矩，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)際測(cè)量活動(dòng)，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和實(shí)地測(cè)量技能.圖11 正方形測(cè)量板與矩的比較

在實(shí)際測(cè)量時(shí)，用眼睛看來讀取“入股”（DF、BE）數(shù)據(jù)，比較困難.為了方便，可以對(duì)測(cè)量工具——矩，進(jìn)行改進(jìn).做成兩邊（OQ、QR）上帶有刻度的正方形塑料板（或硬紙片），如圖11所示的正方形 OQRS，在其頂點(diǎn)O處按裝一條細(xì)線，下有一重物（如栓一鐵釘）；并使其一邊長(zhǎng)度等于矩的豎直勾邊（OQ=CB）.測(cè)量時(shí)，從正方形角頂點(diǎn)O沿邊OQ看谷底P點(diǎn)，使O、Q、P在一條直線上，讓細(xì)線自然下垂.該細(xì)線接觸正方形邊QR上T點(diǎn)時(shí)，QT的長(zhǎng)度（刻度數(shù)），就是仰矩時(shí)所讀的“入股”數(shù).

事實(shí)上，由圖11可知，在直角三角形△CBF與△OQT中，由于OQ∥CF，CB∥OT，知Rt△CBF∽R(shí)t△OQT，而有CB∶BF=OQ∶QT.但由于CB=OQ，故BF=QT.即正方形板邊QR上的長(zhǎng)度QT，就是矩上的“入股”BF.但這樣測(cè)量起來，就方便很多.不妨在教學(xué)活動(dòng)中一試.

第六章 圓

1. 與圓有關(guān)的線段：弦、切線、割線的性質(zhì)和定理；

2. 與圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角、弦切角及相關(guān)定理；

3. 與圓有關(guān)定理：相交弦定理、切割線定理、圓內(nèi)接四邊形定理，等；

4. 圓內(nèi)接正多邊形作圖，黃金分割問題及作圖；

5. 圓周率的演進(jìn)，徽率和祖率；

以上就是試想中初中數(shù)學(xué)關(guān)于幾何內(nèi)容的基本構(gòu)架.其意圖是想從中國(guó)古代數(shù)學(xué)史中吸取營(yíng)養(yǎng)，使初中數(shù)學(xué)（幾何部分）具有故事性，趣味性，實(shí)用性，同時(shí)又有邏輯性、科學(xué)性和理論系統(tǒng).雖然只是設(shè)想，但使初中數(shù)學(xué)、尤其是幾何教學(xué)擺脫不受學(xué)生歡迎的困境，則肯定是可以嘗試的.

參考文獻(xiàn)

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