由一個定理的證明談面積法在平面幾何證明中的應用

大家熟知的平行線段成比例定理：“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.”是一個常用的定理，由此可以推出多個性質，特別是可以推導出三角形相似的判定定理.人教版九年級下冊沒有給出證明，只是在第41頁給出“經證明（這里從略）”，學生頗感困惑.教師教學用書上（第66頁）是這樣解釋的：“由于這個定理的證明涉及無理數、極限等知識，學生尚不能理解”，因此采取了“學生度量相關的線段長度，發現規律，然后直接給出了定理.”因此，這只是一個驗證性的結果. 圖1

普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修4-1·A版·幾何證明選講》（人民教育出版社，2007年第2版）第7頁給出了該定理，并用平行線等分線段定理給出了證明.但也只證明了圖1中ABBC為正有理數時定理成立，當ABBC為正無理數時沒有給出證明.明顯不夠完善.

在這里我們可以利用三角形的面積公式S=12ah給出其簡潔的證明.