夯實基礎，拓展知識，深化思想，提升技能

又一年的學業考試落下帷幕.聽過老師們嘰嘰喳喳的談論聲后，我感到有必要結合2013年初中學業考試數學卷（衢州）第24題的答題情況和本人在監考過程中看到的考生的欠缺及試后調查情況再談談學業考試中考生應具備的數學能力.

試題：在平面直角坐標系xOy中，過原點O及點A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D.點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線OD方向移動，同時點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動.設移動時間為t秒，

（1）當點P移動到點D時，求出此時t的值；

（2）當t為何值時，△PQB為直角三角形；

（3）已知過O、P、Q三點的拋物線的解析式為y=-1t（x-t）2+t（t>0），問是否存在某一時刻，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

該題借助直角的平分線暗修等腰直角三角形，以大眾化的雙動點作為設問的基礎，平常中蘊藏著考查的各項指標和需求.從考場看，75%的考生用前30分鐘完成了前18題（全卷共24題），三分之二的考生再用30分鐘完成19～23題大部，很多考生用近一半時間答第24題，但未能如期完成，這個問題值得深思.

下面就從如下方面談談個人的看法.

1 基本的數形結合能力

在初中，數形結合始于數軸，是乘法公式的有力驗證工具（等面積圖形變換），除函數及其圖像的性質外，經典如求1+x2+4+（4-x）2的最小值的構造法及軸對稱變換中的線段和最小問題，以坐標系最為常見.

本題也以坐標換長度，以Rt∠AOC的平分線協同暗修等腰直角三角形AOD，通題用“數”表“形”，以“形”帶“數”，不離不棄，樸素踏實.（1）問“求當點P移動到點D時的t值”，解答如下：

因為 在平面直角坐標系xOy中，點A坐標是（0，2），所以 OA=2.又∠AOC的平分線交AB于點D，所以 ∠AOD=45°，即△AOD是等腰直角三角形.所以 OD=2OA=22.所以 t=22÷2=2.

從考場看，（1）問解答完成較好，但還是有一些數學薄弱生空白，試后了解到的原因主要是沒有從“45°”領悟到△AOD的特性，沒有把這一特征“數”與形結合起來，說明數學基礎知識和基本技能夯實的欠缺，也要求課堂教學中應關注全體，面向全體是提高考生總體的關鍵.

2 應變的“舉一反三”和“舉三反一”能力

當問題繼續發展時，情況急劇改變，問題（2）解答完整的考生一下減少.

問題（2）由雙動點牽入，是一個開放型探究問題.該問解答的缺失，讓我想到考生在數學學習過程中應變的“舉一反三”和“舉三反一”能力的缺失.

所謂舉一反三，就是由此及彼，拓展伸長；舉三反一，就是歸納總結，深化反思.這要求考生要有扎實的數學基本功，能熟練應用基礎知識、基本技能解決問題.

試后調查表明，很多考生沒能把“△AOD是等腰直角三角形”和“點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線OD方向移動，同時點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動”看懂，沒有發現“△OPQ是等腰直角三角形”，也沒有發現“當點P與點D重合時，△PQB是等腰直角三角形”.

這種能力的缺失，其實與總復習過程中老師總是“一言堂”有關，考生缺少單獨思考的時間和獨立完成的空間，有些考生整整一個學期復習下來，連一個綜合題都沒有獨立完成過，他們在獨立的學業考試中又如何實現“舉一反三”和“舉三反一”呢？

3 清晰的分類討論能力

有一部分考生認識到“△OPQ是等腰直角三角形”，卻又止步于此.們對雙動點牽引下的開放型探究題的唯一感受是“思緒如麻，猶如老虎吃天，無從下口”.

這正是少了清晰的分類討論能力.

分類討論，不妨理解為按照不確定因素中的若干特點分離問題，使問題更有規律，并就這一問題展開辨析，實現策略和方法的條理化、清晰化.其中的“不確定”可分為已知條件不確定和結論不確定.不確定性決定如何分類討論.

本題（2）問可歸結為結論不確定，即△PQB為直角三角形時直角頂點的不確定，導致這種不確定的根本是兩動點P、Q相對于定點B的位置改變.那么，當t為何值時，△PQB為直角三角形呢？