一道模擬考題引發的思考

1 題目呈現

如圖1，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點E，與AD交于點F（E，F不與頂點重合）.（1）求證：AF=CE.（2）（3）略.

圖1 圖2

2 解答概況

近75%的學生采用如下方式證明：

連結AC交EF于點O，如圖2.因為矩形是中心對稱圖形，而，所以EF，AC都過對稱中心，故有OA=OC.然后用全等證得AF=CE.

顯然， “EF，AC都過對稱中心，故有OA=OC”的得出缺乏依據.

本題解答的正確率只有15%左右.

3 探究成因

一道簡單的幾何論證題，為什么得分率如此低？為什么這么多的學生會采用這種錯誤證法？

成因一：知其然不知其所以然.

在學習“中心對稱圖形”時，老師都會提到中心對稱圖形的這條性質：“過中心對稱圖形的對稱中心的直線必平分圖形的面積”.（教材中并沒有這樣的性質，然而用中心對稱圖形的定義容易得出）因此，當出現EF將矩形面積平分時，第一反應就聯想到了這條“編外性質”.老師們熱衷于補充不列入新教材中的一些性質，如已刪去的十字相乘法，圓冪定理定理等.但對其進行論證總是匆匆而過.學生只知其然，不知其所以然.教師也只希望學生在客觀題中能用上這些編外性質即可.

補充知識，不應成為簡單的知識識記，增加學生記憶的負擔.長此以往培養了死讀書的壞習慣.知識的補充可以以課題學習的方式呈現.在問題的解決過程中提升學生的數學素養.至于結論是否記住，實在是次要的.

成因二：錯誤的解答，折射出平時教學中數學嚴謹性的缺失.

“過中心對稱圖形的對稱中心的直線必平分圖形的面積”.“反之亦成立！”在課堂教學中很順口的一句：反之亦成立；顯然成立.助長了學生想當然的做法——尤其是結論真的很顯見的時候.

過中心對稱圖形的對稱中心的直線必平分圖形的面積.有沒有追問：“過對稱中心”是“平分面積”的充分條件，不要條件？還是充要條件？平分面積的直線是否只能過對稱中心？

“過中心對稱圖形的對稱中心的直線必平分圖形的面積”.這條性質可以用中心對稱圖形的定義——旋轉180°后與原圖形重合，證明得到.

看似顯見的逆命題：“將中心對稱圖形面積平分的直線必經過對稱中心.”怎么證明？學生都不會.其實真的還不簡單.圖3

如圖3，已知O是中心對稱圖形F的對稱中心，直線AB平分圖F的面積，求證：直線AB經過點O.

用反證法證明：假設直線AB沒有經過點O，

過A，O作直線交圖F與點C，

因為“過中心對稱圖形的對稱中心的直線必平分圖形的面積”，

所以，直線AC兩旁的圖形面積相等，則直線AB左則的面積大于其右側的面積，這與已知條件：直線AB平分圖F的面積相矛盾.

所以假設不成立.故結論成立.

只有教師有嚴謹的數學思維習慣，才能在潛移默化中培養學生學習數學的嚴謹性.

成因三：學生高度統一地使用了錯誤的論證方法.

可見，平時教學中對學生發散性的思維訓練不到位.我們平時教學也講一題多解，一個題目三四種解法，甚至十來種解法.但往往停留在：老師介紹，展示方法.學生聆聽，觀看解法.很少有學生體驗，躬行.作業訂正中，少有學生將老師說過的方法都嘗試一遍.現在孩子，更多的時間在窮于應付老師布置的新作業，少有反思體驗，歸納提升.

成因四：思維定勢.

證明線段相等，總是習慣從幾何方法上考慮，最基本方法就是利用三角形全等的性質.于是有了連結AC，缺少全等條件，只能強行突破.

利用面積計算公式推理得到線段相等，其實是用代數方法解幾何證明題的思想，平時用的確實不多.我們總在強調數形結合.但大多練習也多為形為數服務（形象直觀），反過來的，較少.

這是思維的定勢，還有行為定勢.當運算對象不是數而是線段時，不易接受.這個跟高中生一開始不適應集合運算，大學生研究群環，不易理解一個道理.其實，有學生根據面積相等已得出AF+BE=CE+DF.他也知道這四條線段間還有AF+DF=BE+CE的數量關系.眼睜睜看著這兩個等式就是沒有嘗試用方程組的消元思想試試.可能他們沒能將AF、DF之類的與 “元”等同起來.

4 解法薈萃：轉化思想——四兩撥千斤

學生根據面積相等已得出AF+BE=CE+DF后，易迷失方向.若運用轉化思想，舉重若輕.

轉化1：將條件 “直線EF將矩形紙片ABCD分成面圖4積相等的兩部分”轉化為“梯形ABEF的面積是矩形面積一半”.相信絕大多數學生會順利用面積公式得到AF+BE=BC，易得結論.

轉化2：如圖4，分別過點E、F作EN⊥AD于N，FM⊥BC于M.將條件 “直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分”轉化為矩形ABMF與矩形CDNE的面積相等，易得AF=CE.

5 三角形全等的另類證法

當我們因為“過中心對稱圖形的對稱中心的直線必平分圖形的面積”的逆命題的論證遇阻，而放棄了證明線段相等最基本方法——全等時.我們多么不甘心.看上去△AOF與△COE就是全等的啊！

不禁追問，全等真的不行嗎？易得，三個角都相等.雖夠不上全等，但已相似.

如何用上條件“直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分”？

直線AC也將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分！

所以S△AOF=S△COE.相似三角形面積之比等于相似比，所以相似比為1，相似比為1的兩三角形全等.

從相似再到全等——三角形全等證明的另類方法.少見！

再舉一例，讀著可試試.圖5

如圖5，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于點O，若∠ABD=∠ACD，求證：梯形ABCD是等腰梯形.