刪繁就簡 化難為易

【關鍵詞】初中數學 因式分解 解題

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）03B-0083-01

“因式分解”在初中數學解題中應用十分廣泛，在其他領域中也有一些獨特的使用。本文通過探究其在不同題型中的不同運用，加強知識間的聯系，幫助學生學會靈活運用“因式分解法”解題。

一、提取公因式法求算式的值

初中數學求算式的值的題一般都是含有字母的代數式，重點考查學生運用簡便方法求值的能力。因式分解就是一種重要的簡便方法，用得較多的如提取公因式法，其本質就是乘法分配律的逆用。

【例1】 計算10052-502×2010。

分析：這道題如果直接計算的話，計算量是比較大的。觀察式子中的數字，可以發現1005與2010之間有聯系，將2010拆成2×1005，這道題的計算就變得容易多了。

原式=10052-502×2×1005

=1005×（1005-1004）

=1005。

提取公因式也是因式分解中的一種。在計算過程中，通過提取公因式能減少計算步驟，降低計算量，使計算過程變得簡潔且不容易出錯。在平時的教學和練習中，教師一定要重視培養學生尋找簡便方法的意識，提高學生綜合運用知識靈活解題的能力。

二、逐次分解法求代數式的值

在求代數式的值這類題型中，我們可以運用因式分解先化簡再求值，這樣不但可以減少運算量，還可以提高解題的正確率，提高解題速度。特別是在一些含有分式的題型當中，通常先對分式進行約分，以降低計算的難度，把一些繁難的代數式計算變得簡潔和容易。

【例2】 m=-4時，求m4-34m2+225的值。

分析：如果把m=-4直接代入式中進行計算，計算量較大，而且沒有達到題目的考查目的。所以應該想辦法把代數式簡化，可先用十字相乘法分解因式，再進一步進行化簡。

解：m4-34m2+225

=（m2-9）（m2-25）

=（m+3）（m-3）（m+5）（m-5），

把m=-4代入，原式=-63。

像這種求代數式的值的題，一般先觀察代數式，嘗試用能想到的方法去分解，經過第一次分解之后，再觀察是否可以繼續分解，直到代數式化到最簡為止。本例經過第一步的因式分解之后，發現還可以再運用平方差公式進行化簡。

三、轉化條件法求待定系數的值

一般求待定系數的值的題都是給出一個含有該系數的代數式或等式，結合其他條件，要求該待定系數的值。待定系數不一定就是一個數，也可能是一個式子。這類題目不要求把式子中的每個未知數都求出來，只需要通過變形或化簡，把待求的字母或式子從原式中分離出來并確定它的值。

【例3】 二次多項式x2+2mx-3m2能被x-1整除，求m的值。

分析：原式中含有兩個未知數，如果直接把未知數求出來確定m的值，是不可取的。根據已知條件可以知道x-1是二次多項式x2+2mx-3m2中的一個因式，可以先把這個二次多項式進行因式分解，再觀察每部分與x-1的關系，進一步求值。

解：x2+2mx-3m2=（x+3m）（x-m），

又∵x2+2mx-3m2能被x-1整除，

∴x+3m=x-1或x-m=x-1，由此得m=-或m=1。

因式分解用于求待定系數的值是一種常見的解題方法，學生對這種方法的運用要敏感。特別是對于一些有特殊條件如“被……整除”的題，要用心思考出題的初衷，才能知道如何把題目條件轉化成與因式相關聯的已知條件。

四、變形分解法求取函數的最值

在求函數最值問題中運用因式分解，主要是通過因式分解把一些特殊的、較復雜的函數轉化為較普通的、簡單的函數來求最值，這樣可以解除原函數不能直接求最值的困惑。

【例4】 已知x為實數，求函數y=-（x2-4）（x2-10x+21）-100的最值。

分析：這道題中的函數已不是一個二次函數，不能直接使用公式求最值，但通過觀察可以發現，組成函數的某些因式可以進行因式分解，所以應先嘗試對函數進行因式分解和變形。

解：y=-（x2-4）（x2-10x+21）-100

=-（x+2）（x-2）（x-3）（x-7）-100

=-（x2-5x-14）（x2-5x+6）-100

=-（x2-5x）2+8（x2-5x）-16

=-（x2-5x-4）2≤0。

因此，x為任何數時，y都只有最大值0。

這是一道比較復雜的綜合題，考查的不僅是有關函數的最值問題，更重要的還是考查對代數式的變形以及有關公式的靈活使用。學生要對因式分解的各種方法都很熟悉才容易得出解題的方法，特別是十字相乘法和完全平方法。這兩種方法相對提取公因式法和平方差公式法較難看出應用的場合，一定要熟記。

從上面幾個例子可以看出，因式分解在解題中的應用非常廣泛，往往能幫助我們輕松解題。所以，學生在平常的練習當中應該多思考、總結不同類型的題目所適用的因式分解法，這樣才能正確、快捷、靈活地把因式分解法運用到解題實踐中，提高思維能力。

（責編 王學軍）