談數(shù)學(xué)基本思想的理解與落實

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中“雙基”被發(fā)展為“四基”，課標總目標中的第一條就明確地提出了獲得“四基”的要求：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！薄半p基”被發(fā)展為“四基”，成為了此次課標修訂的一個重要標志?！霸撛鯓永斫馀c落實好新增的兩基”這也成為了一線教師廣泛關(guān)注的問題。就此內(nèi)容與大家交流，受篇幅所限，本文重點談?wù)剶?shù)學(xué)基本思想這方面。

其實，當人們面對一些新變化時，自然而然就會產(chǎn)生這樣的問題。“為什么（從原來的獲得雙基發(fā)展為四基的原因）？”“是什么（數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵）？”“怎么做（如何在課堂教學(xué)中落實數(shù)學(xué)基本思想）？”以下我就從這三方面來談?wù)剶?shù)學(xué)基本思想這一內(nèi)容。

一、為什么——“雙基”為何要發(fā)展為“四基”

（一）2+2？

變化的原因可以從三方面來說：

第一，從三維目標來看。以往的“雙基”僅僅涉及三維目標中的一個目標——“知識與技能”。新增加的基本思想和基本活動經(jīng)驗則還涉及三維目標中的另外兩個目標——“過程與方法”和“情感態(tài)度與價值觀”。

第二，從以人為本的角度來看。因為某些教師片面地理解“雙基”，往往在實施中“以本為本”，見物不見人；而教學(xué)必須以人為本，人的因素第一，新增加的“數(shù)學(xué)思想”和“活動經(jīng)驗”就直接與人相關(guān)，也符合“素質(zhì)教育”的理念。

第三，從培養(yǎng)創(chuàng)新來看。因為僅有“雙基”還難以培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，“雙基”只是一個基礎(chǔ)，但創(chuàng)新性人才不能僅靠熟練掌握已有的知識和技能來培養(yǎng)，思維訓(xùn)練和積累經(jīng)驗等也十分重要。

（二）4=1！

我們還要把握住一個觀點就是，“4=1”即四基是一個整體。數(shù)學(xué)“四基”不是簡單的疊加與混合，而是相互聯(lián)系、相互交融，相互促進的整體。基礎(chǔ)知識和基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要載體；數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，是課堂教學(xué)的主線；數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要以數(shù)學(xué)知識為載體，因勢利導(dǎo)，畫龍點睛，避免生硬牽強和長篇大論。數(shù)學(xué)活動是不可或缺的教學(xué)形式與過程。

二、是什么——數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓，內(nèi)涵十分豐富。有學(xué)者通俗地把“數(shù)學(xué)思想”說成“將具體的數(shù)學(xué)知識都忘掉以后剩下的東西”。就比如說研究“植樹問題”，這類問題的公式，隨著時間的久遠和不經(jīng)常用到，很可能就會淡忘。但如果在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容同時如果也獲取了數(shù)學(xué)思想，一棵樹對應(yīng)一段距離這樣對應(yīng)的思想，了解了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會了化繁為簡的簡化思想，掌握了歸納推理的思想，相信這一問題定會迎刃而解。更重要的是這些思想會讓學(xué)生終身受益，絕不僅僅限于這一問題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)該會影響到方方面面。

（二）“基本”怎么理解？

這次在“思想”的前面加了“基本”二字，一方面強調(diào)其重要，另一方面也希望控制其數(shù)量——基本思想不要太多了。說“強調(diào)其重要”，是因為“數(shù)學(xué)思想”可以有許多，并且是具有層次的，而“數(shù)學(xué)的基本思想”則是其中帶有基本重要性的一些思想，處于較高的層次；其他的數(shù)學(xué)思想都可以由這些“數(shù)學(xué)的基本思想”演變出來，派生出來，發(fā)展出來，處于相對較低的層次。數(shù)學(xué)的基本思想主要指數(shù)學(xué)抽象的思想；數(shù)學(xué)推理的思想；數(shù)學(xué)模型的思想。

由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的：分類的思想，集合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想等。由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來的：歸納的思想，演繹的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想等。由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來的：簡化、量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想等。

（三）數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法

我們以往在表述中常常會提到“思想、方法”這兩個詞，即“數(shù)學(xué)的思想方法”。而這次我們看到課標在這里的措詞為“數(shù)學(xué)的基本思想”，而不是“數(shù)學(xué)的基本思想方法”，那么這樣表述的意圖何在，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法又是怎樣的關(guān)系呢？這是因為后者可能更多地讓人聯(lián)想到“方法”，這樣層次就降低了，且沖淡了“思想”。其實在用數(shù)學(xué)思想解決具體問題時，會逐漸形成程序化的操作，就構(gòu)成了“數(shù)學(xué)方法”。數(shù)學(xué)方法也是具有層次的，處于較高層次的可以稱為“數(shù)學(xué)的基本方法”。數(shù)學(xué)方法不同于數(shù)學(xué)思想。

“數(shù)學(xué)思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的；而“數(shù)學(xué)方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。數(shù)學(xué)思想常常通過數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)；數(shù)學(xué)方法又常常反映了某種數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，教師在講授數(shù)學(xué)方法時應(yīng)該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生了解和體會數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、怎么做——例談數(shù)學(xué)基本思想的落實

人們常說，知易行難。了解了數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵與產(chǎn)生的原因及背景，那么數(shù)學(xué)的基本思想在課堂教學(xué)中該怎樣落實，我們該怎么做呢？受篇幅所限，以下僅從三類基本思想中各選一例具體談?wù)劇?/p>

（一）抽象之分類

數(shù)學(xué)從本質(zhì)上講，只研究數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系。那么抽象所起的作用，就是把生活中的與數(shù)量、圖形有關(guān)的東西抽象成概念，并用符號表達。

分類思想作為抽象思想派生出的數(shù)學(xué)思想，就是人們面對比較復(fù)雜的問題，有時無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決。而這樣的過程就是一個抽象的過程。

但我們要明確的是數(shù)學(xué)的分類有其內(nèi)在的學(xué)科性，我們在教學(xué)中要牢牢把握，舉一個例子：認識自然數(shù)2＼3一課，教師設(shè)計了如下的練習(xí)，請學(xué)生來分類：

學(xué)生的答案多種多樣。有按種類分的，有按顏色分的，有按個數(shù)分的，有按大小分的，甚至有按是否帶把來分的……

很顯然這位老師在教學(xué)中十分注重數(shù)學(xué)思想的滲透，這樣一道習(xí)題設(shè)計就很具有代表性?？墒敲鎸W(xué)生如此多的分類，教師又應(yīng)該如何把握，怎樣引導(dǎo)，做何評價呢？究竟哪一種分類才是數(shù)學(xué)意義上更本質(zhì)的分類呢？

給出如下的觀點：

1. 數(shù)學(xué)抽象中的分類思想，我們所關(guān)注的只是對象的本質(zhì)特征（數(shù)量關(guān)系和空間形式），而完全不去考慮其它（本題更本質(zhì)的分類顯然是等數(shù)性，無關(guān)大小、顏色、形狀）。

2. 就分類這一數(shù)學(xué)抽象思想而言，不能同等地肯定學(xué)生的多樣化，還應(yīng)作出必要優(yōu)化。

3. 在教學(xué)中，還應(yīng)考慮課程設(shè)計的科學(xué)性。要依據(jù)學(xué)生的認知水平合理地確定教學(xué)內(nèi)容與總體目標。

再來看一個資料。有分析人士指出，兒童分類能力的發(fā)展表現(xiàn)為以下趨勢：

第一階段，從根據(jù)事物的非本質(zhì)的、表面的特征進行分類（如顏色、形狀等）；

第二階段，發(fā)展到根據(jù)事物的功用進行分類（個別的功能和用途，如可以吃）；

第三階段，能夠根據(jù)概念，即客觀事物抽象的、本質(zhì)的特征進行分類。

所以我們說就上一個例子而言，學(xué)生多樣化的分類正是其認知水平（一年級）的合理體現(xiàn)，一年級教材中諸如此類的分類習(xí)題還有很多。面對學(xué)生較為合理的分類，教師都要給予學(xué)生積極的肯定，但在教學(xué)的過程中也要逐步引導(dǎo)，不斷比較抽象，進而優(yōu)化理解更本質(zhì)的數(shù)學(xué)分類。

（二）推理之歸納

推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。

以往“雙基”都是知識，沒有教智慧，沒有教從條件預(yù)測結(jié)果的能力，也沒有教從結(jié)果探究成因的能力。這種能力靠的是什么？靠的是歸納推理。雖然得到的結(jié)論不一定是對的。但正是這樣一種推理，才有可能發(fā)現(xiàn)一種新的東西。

以我執(zhí)教的“量的計量復(fù)習(xí)課”為例（如下圖）。

在學(xué)生梳理總結(jié)出學(xué)習(xí)過的計量單位后，引導(dǎo)學(xué)生進行歸納、聯(lián)想、類比。還有沒有比毫米更小的長度單位？有沒有比千米更大的長度單位，……學(xué)習(xí)了長度單位、質(zhì)量單位、時間單位，還有沒有其他的計量單位呢？米可以用字母m來表示，那么為什么相鄰的長度單位之間的進率一般都是10，而質(zhì)量單位的進率卻是1 000，時間單位的進率卻千差萬別呢？這樣的觀察、比較，歸納與類比正是在發(fā)現(xiàn)新知的過程，如果更多給學(xué)生這樣發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機會，學(xué)生獲得的就絕不僅僅只是上面的幾個數(shù)學(xué)知識點，而是獲取知識的能力以及數(shù)學(xué)的思維方式。

當然我們也要正確理解推理思想在教學(xué)中的滲透。首先，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，它貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終；另外合情推理和演繹推理二者不可偏廢；最后，就是把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性，視學(xué)生特點和知識內(nèi)容而定。

（三）模型之植樹問題

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 數(shù)學(xué)建模是一個比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：

1.理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。

2.把復(fù)雜的情境經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。

3.建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖表形式。

4.解答問題。

但我們在理解模型思想時卻常會產(chǎn)生這樣的誤區(qū)或者單一的認識，即認為建立數(shù)學(xué)模型就是獲得解決相應(yīng)問題的數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式等。

如果只是記住這樣的概念、定理之類，這就還是停留在知識層面，可能隨著缺少應(yīng)用而淡忘。而一旦在學(xué)生的頭腦中建立起真正的模型思想，即使忘卻所謂的公式、定理，也可以依靠已形成的思想再次發(fā)現(xiàn)。

以“植樹問題”一課為例。

列舉如下傾向：有的，設(shè)計將問題中的100米調(diào)整為20米，以求降低思維難度，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立起所謂的數(shù)學(xué)模型（公式）；有的教師，在這一內(nèi)容的處理上，經(jīng)常通過提供學(xué)具，幫學(xué)生來理解，甚至是在課堂伊始即出現(xiàn)“一球一棒”的拼接游戲；還有的教師執(zhí)著于幫學(xué)生提煉計算公式，要求學(xué)生熟記背誦“兩端都栽：棵數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端不栽： 棵數(shù)=間隔數(shù)-1；一端栽樹： 棵數(shù)=間隔數(shù)”。

關(guān)于“植樹問題”這一內(nèi)容的研究在我的其他文章中（博客）有詳細闡述，在這里不做展開。只想表明如下觀點：

1. 100米調(diào)整為20米，降低了學(xué)生的思維難度，卻并沒有考慮到所有學(xué)生解決問題能力的本質(zhì)提升，這樣獲得的問題解決，不是根本意義上的模型建立。學(xué)生并沒有自己經(jīng)歷一個化繁為簡的過程，從簡單問題中直接得到答案，也缺少一個歸納推理的過程。如若再遇到類似的其他問題學(xué)生可能仍然沒有思路，找不到方法，不能獨立解答。

2. 這里的學(xué)具、教具乃至課件的使用要恰到好處，有面向全體的情況，也要有針對個別的時候。我們設(shè)計開放性的探究問題的目的就是關(guān)注到不同學(xué)生的不同能力和不同發(fā)展，同樣的問題，可能有些學(xué)生一看就會，有些須要計算一下，有些須要畫一畫、擺一擺的直觀操作，還可能完全沒有思路。所以學(xué)具、教具不宜在開始直接出現(xiàn)。

3. 對于公式的提煉，我姑且提一個大膽的觀點。即不出現(xiàn)總結(jié)出來的所謂萬能鑰匙（公式）。其實這里面顯然不是知道了公式，學(xué)生對于這一知識的數(shù)學(xué)模型來建立。這需要學(xué)生充分理解數(shù)量之間的關(guān)系，建立起棵樹與間隔數(shù)（空數(shù)、段數(shù)等）一一對應(yīng)的關(guān)系。這種建立可以通過學(xué)具、圖示、計算，甚至是自己的思考，這種建立是一個循序漸進的過程。但可以肯定的是公式不是最終的目標。

由此例我想表達的是對于模型思想的滲透，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的抽象、推理再到建立模型的過程（如前面的四個步驟），而非只盯在形成的式子上。這其實才是最關(guān)鍵的。

補充一點：

前面關(guān)于數(shù)學(xué)的基本思想從理論到實踐談了很多，最后補充一點。先看這樣一個“燒水的故事”：

有好事者曾提出這樣一個問題：“假如你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些水應(yīng)當怎樣去做？”

被提問者答道：“在壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”

提問者肯定了這一回答，接著追問：“如其他條件不變，只是水壺中已有了足夠的水，那你又應(yīng)當怎樣去做？”

這時被提問者很有信心地答道：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！?/p>

但是提問者說：“物理學(xué)家通常都這么做，而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水，并聲稱已把后一問題轉(zhuǎn)化成先前的問題?！?/p>

故事的本意是說數(shù)學(xué)家“倒去壺中的水”看似多此一舉，實則是引導(dǎo)我們感悟數(shù)學(xué)家獨特的轉(zhuǎn)化思想。誠然，數(shù)學(xué)思想在解決問題時會帶給我們很多積極有益的潛移默化影響。但上面故事中所謂數(shù)學(xué)家的做法是最好的嗎？我們是否也應(yīng)該清醒地意識到在數(shù)學(xué)研究的過程中，在獲得數(shù)學(xué)思想的同時，也可能會帶給我們某些思維定式：我們要深入地思考數(shù)學(xué)基本思想帶來的積極作用，也應(yīng)當努力看到數(shù)學(xué)思維的局限性。

由此更應(yīng)該認識到這樣一點，在我們的專業(yè)成長道路上應(yīng)該保持開放、多元的思維方式，我們還要有跳出數(shù)學(xué)看數(shù)學(xué)，乃至是跳出教育看數(shù)學(xué)的眼光、氣魄與能力。