淺談平面幾何教學與逆向思維

【摘 要】 提高初中生的幾何解題能力是一項艱巨的任務，逆向訓練是提高平面幾何解題能力的一個手段。正向訓練更不能忽視，只有綜合運用，才能使學生具有創新思維能力，逐步形成一系列行之有效的解題策略。

【關 鍵 詞】 逆向思維；平面幾何；教學

初中數學的教學目的是為了使學生獲得數學基本知識，獲得正確的運算能力，一定的邏輯思維能力和空間想象能力，最終分析解決實際問題。實現這一目的的手段，是加強對各種思維能力的培養，初中平面幾何教學能培養學生的分析能力和思維推理能力，而思維能力的培養又是提高平面幾何解題能力的關鍵，加強逆向思維訓練是培養思維能力的重要方面。逆向思維是一種從問題的相反方面進行思維，反轉思路，另辟蹊徑的思維方法。這種“倒過來思”的方法，能使人們在遇到難題時，通過分析因與果，條件與問題之間的聯系，擺脫“山重水復疑無路”的窘境，到達“柳暗花明又一村”之佳境。下面就如何加強逆向思維訓練，提高平面幾何解題能力，談幾點粗淺的看法。

一、加強數學基本知識的逆向教學

平面幾何中的基礎知識指的是定義、公理、定理等。掌握基礎知識是指學生能把學過的知識形成自身的認知結構，是培養基本技能的基礎。

（一）注意定義、性質的逆向教學

對概念的教學不僅要從正向講清定義、公理、定理的確切含義，而且要注意逆向教學，只有這樣才能加深學生對概念的理解和記憶。教材也提供了逆向思維的數學模型。如“兩直線相交，只有一個交點。”如果兩直線相交有兩個交點，那么與兩點決定一直線的幾何公理矛盾，故兩直線相交只有一個交點。教師可根據學生實際對“過直線外一點，只能作一條直線平行（垂直）于已知直線”“兩直線平行，同位角相等”“三角形中最多只有一個直角或鈍角”等性質進行逆向教學，可使學生對概念理解加深，融會貫通。

（二）注意定理的逆向教學

平面幾何教學中引導學生探索一些定理的逆命題是否正確，不僅可鞏固所學知識。而且還能激發學生探求新的知識，培養學生的學習興趣。如學生在對“等腰三角形的頂角平分線，底邊上的高，底邊上的中線重合”的逆命題“如果三角形的一個角的平分線平分它所對的邊，那么這個三角形是等腰三角形”進行討論給出了三種證法（如圖1）：

證法1：AD平分∠BAC ? =，又BD=DC 則AB=AC

證法2：延長AD至E，使AD=ED，連接BE則△ADC≌△EDB ? AC=BE=AB

證法3：△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD

AD=AD

BD=CD ? △ABD≌△ACD ? AB=AC ? △ABC為等腰三角形。

證法1：利用角平分線定理，證法簡明。

證法2：利用延長法作輔助線，能鞏固全等三角形的知識，起到證明命題的作用。

證法3：是錯誤的，兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等。

通過對以上證法的分析能糾正學生的錯誤，引導學生選擇最優證法，提高解題能力。

二、注意方法上的逆向訓練，提高解題能力

教師通過例題的講解進行逆向分析，讓學生掌握解題的基本方法，提高解題思維能力。

（一）加強分析法教學，明確解題思路

分析法是從命題的結論出發，先假設命題成立，然后尋找充分條件的證題方法。學生感到平面幾何題無從下手，原因是缺乏分析能力，沒有明確的思路，具有盲目性。分析法能使學生思路清晰，從復雜的條件、圖形理出頭緒，也能讓學生比較、選擇最優方案。

（二）利用反證法教學

在學生有一定的基礎時，適當地進行反證法教學能提高解題的靈活性，同時也可使零散的知識具有系統性。如對定理“在同一三角形中，大角對大邊”可引導學生運用反證法。

如圖2，已知∠C>∠B，求證AB?AC。

證明1：假設AB=AC；則∠B=∠C與∠C>∠B相矛盾，故AB≠AC。

證明2：假設ABAC。

（三）利用開放性試題，發散學生逆向思維

開放性試題由于具有條件開放、結論開放、方法開放、思路開放等特點，能有效地為學生的思維發展創造條件，能更好地培養學生的獨立思考能力和探索精神，發展學生的創新意識。如圖3，已知∠BAC=∠ABD，試添加一個條件，使△ABC≌△BAD。

解析：把圖形分解成△ABC與△BAD，已知AB為公共邊，∠BAC=∠ABD；根據“SAS”可以補充AC=BD；根據“ASA”可補充∠ABC=∠BAD；根據“AAS”可補充∠C=∠D。

這是一道典型的條件開放式試題，訓練學生逆向思維能力，采用逆推法解題，執果索因。

總之，提高初中生的幾何解題能力，是一項艱巨的任務，逆向訓練是提高平面幾何解題能力的一個手段。正向訓練更不能忽視，只有綜合運用，才能使學生具有創新思維的能力，逐步形成一系列行之有效的解題策略。

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