直角三角形的“巧妙點”

筆者曾在《中學數學教學參考》中發表《一道簡單題的不簡單》一文.此文從課堂上一道簡單的中考題出發，繼而變式，讓學生發現了一類圖形的“巧妙點”的作法.之后筆者又在《中學數學》、《初中數學教與學》相繼發表《“巧妙點”的再探究》、《矩形也有“巧妙點”》等文章，將共線三點、共線四點及具有“巧妙點”的矩形進行了深入的探索.近期很多讀者與筆者交流文章中直角三角形“巧妙點”的問題，筆者經過再三斟酌，就此問題再次展開深入研究，愿與讀者分享.1

原題呈現

平面上，若點P與兩點A、B構成的△PAB是等腰三角形，我們則稱點P是兩點A、B的“巧妙點”.類似地，平面上，若點P與三點A、B、C中的任意兩點構成的△PAB、△PBC、△PCA均是等腰三角形，我們則稱點P是三點A、B、C的“巧妙點”，或稱點P是△ABC的“巧妙點”.

原文指出：作出AB、BC的垂直平分線，其交點P就是A、B、C三點的“巧妙點”，也就是說△ABC的外心即△ABC的“巧妙點”.但Rt△ABC的外心為斜邊的中點，與斜邊兩個端點不構成等腰三角形，所以直角三角形除外.

那么直角三角形是否存在“巧妙點”呢？

原文給予了如下回答： 直角三角形也有可能存在“巧妙點”，如圖1、圖2（兩圓交點在另一邊的垂直平分線上），圖3（三圓相交于同一點）， 但三種情形的直角三角形兩條直角邊有著特殊的比例（課后請計算出這個比值）.

[TPhjq-1.tif，BP][TS（][JZ][HTK]圖1 圖2 圖3[TS）]

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深入探究

2.1 作出直角三角形的“巧妙點”

事實上，三角形平面內存在一點到三個點的距離均相等，此點為三角形的外心，可是直角三角形的外心為斜邊的中點，與斜邊的兩個端點不構成等腰三角形，所以直角三角形的外心不為“巧妙點”.但也有可能存在到三個點的距離不全相等的點并能使它與直角三角形任意兩點所構成的三角形為等腰三角形，這就意味著直角三角形有可能存在“巧妙點”，但這樣的直角三角形有一定的要求，以圖1的情況為例：以點A為圓心，AC的長為半徑作⊙A，以點C為圓心，CB的長為半徑作⊙C，兩圓交于點P，當點P在AB的垂直平分線上時，該點就為直角三角形的“巧妙點”.

因為在⊙A、⊙C 中，CA=AP，CB=CP，所以△PAC、△PCB為等腰三角形，因為點P在AB的垂直平分線上，所以PA =PB，即△PAB為等腰三角形，故點P為直角三角形的“巧妙點”.

2.2 存在“巧妙點”的直角三角形的兩條直角邊的比值[TPhjq-2.tif，Y][TS（][JZ][HTK]圖4[TS）]

根據上面的結論，直角三角形有可能存在“巧妙點”，當⊙A、⊙C與AB的垂直平分線交于一點，即為“巧妙點”P時，如圖4，過點C作AB的垂直平分線EP的垂線CF，垂足為F.

不妨設AB= x，BC=1，因為P在AB的垂直平分線上，

所以AE =BE =

3 推廣運用

根據上面的探究發現，該題與矩形的“巧妙點”的結果相同，當矩形長與寬的比值為時，該矩形具有“巧妙點”，仔細思考便會發現其中的聯系.

此題還可以進一步推廣：如圖3，三圓相交于同一點的直角三角形也具有“巧妙點”，此時該直角三角形的兩條直角邊的比值是多少？

[HT5”H]作者簡介 [HTK]

何君青，男，江蘇南京人，1987年生，主要從事數學課堂教學研究，曾被評為“南京市建鄴區教學先進個人”，指導的學生在省數學競賽中獲得省一等獎，被評為“省優秀指導教師”，近3年發表文章10余篇.