從一道中考壓軸題的磨制過程看初中數學考題的命制

筆者多次參加紹興市數學中考的命題工作，深刻體會到一份優秀試卷的形成凝聚了所有命題組教師的心血，而壓軸題的命制又是試卷命制的核心.本文以2012年紹興市數學中考壓軸題的磨制過程為例談談試題的命制歷程，讓大家對壓軸題的命題要求和步驟有大致的了解，能引發大家對自己的教學方式方法的一些思考，希望大家在平時的教學中能更關注學生能力的培養，而莫把學生的時間浪費在一味地猜測和操練上.

1 回歸課本找題源

試題的改編、創作離不開“題源”，而課本卻是最好的“題源”地.一道好的試題應該“源于課本”而又“高于課本”.找好“題源”，確定好改編的方向，沿某個角度進行挖掘，是試題編制時常采用的方法.根據壓軸題的考查范圍，我們在尋找“題源”時，重點關注知識面盡可能豐富的，包含特殊三角形和特殊四邊形，可塑性強，有挖掘價值的題目.在分頭翻看課本例習題的過程中，我們注意到了浙教版八年級下冊P143例2，原題如下：

如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F.求證：四邊形AFCE是菱形.

此題題干簡潔，主要考查特殊四邊形的性質和判定，涉及矩形、菱形、全等、直線位置關系、中垂線性質等知識.作為新課例題，原題知識面比較單一，但讓我們眼前一亮的是，題目圖形中卻包含著豐富的信息，既有特殊四邊形，也有特殊三角形，既有三角形的全等關系，又有直線的特殊位置關系，具有很大的可塑性.若讓E，F兩點運動起來，就可以編成一個動態問題，點的移動必然產生線位置關系的變化，位置關系又可用數量關系去衡量，可以很好的滲透方程、函數、數形結合等思想.有了這道具有挖掘潛質的“題源”，我們就著手進行改編.

2 確定基調塑題型

改編之前，得首先定好壓軸題的基調：二次函數背景，有特殊三角形或四邊形，能考查方程、函數、數形結合、分類討論等思想，兼顧基礎性和區分度，能壓得住卷的.我們確定試題格局為“2+2”型，既試題共分兩小題，第（2）小題又分兩小題.第一輪改編目標是試題題干、第（1）小題和第（2）小題的①，要求第（1）小題盡可能簡單，絕大多數學生都能解決，第（2）小題的①中等以上學生都能解決.我們產生了如下兩種原始方案：

方案一：如圖2，在平面直角坐標系中， 矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連結AC.拋物線y=x2-2x-3經過A、B兩點.

（1） 求A點坐標及線段AC的長；

（2） 如果點P由點O出發以每秒2個單位的速度沿OC邊向點C移動， 同時點Q由點B出發以每秒1個單位的速度沿BC邊向點C移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，移動時間為t.

① 當PQ⊥AC時， 求t的值；方案二：如圖3，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，AB=4 cm，OA=2 cm， 拋物線y=04x2+bx+c經過A、B兩點.

（1） 求拋物線的解析式；

（2） 如果點P從O點出發以3 cm/s的速度沿OA，AB邊向B點運動，同時點Q從點B出發以1 cm/s的速度沿BC邊向點C運動，移動時間為t.

① 連結BO，PQ，當t為何值時，BO分線段PQ為1∶2兩部分？

評析 第（1）題，方案一能較迅速地得到結果，方案二需用待定系數法計算，要稍作轉換，從命題意圖看，方案一可取.第（2）題的第①小題，方案一根據位置關系求數量關系，較好地利用了“題源”中的“垂直”關系，但深度不夠，方案二雖考查了分類討論思想，但仍是由數量關系到數量關系，沒有很好利用“題源”中的主要關系，動態問題和數形結合思想的本質滲透不夠.綜合兩者，可以方案一為藍本，把第（2）題的第①小題，設計成垂直背景下的分類討論題.在此基礎上得到了方案三.

方案三：如圖4，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連結AC，拋物線y=x-4經過A、B兩點.

（1） 求A點坐標及線段AC的長；[TPpjd-4.tif，Y][TS（][JZ][HTK]圖4[TS）]

（2） 點Q由點B出發沿BC邊以每秒1個單位的速度向點C移動，1秒后點P也由點B出發沿BA，AO，OC邊以每秒4個單位的速度向點C移動，當其中一點到達終點時另一點也停止移動.移動時間為t 秒.

① 當PQ⊥AC時， 求t的值；

評析 為了使第（2）題的第①小題產生多種情形，我們把橫向矩形改成了縱向矩形，并延遲了P點出發時間，從而使P點在不同的移動路徑上都需考慮是否存在PQ⊥AC的情況，而且求得的兩個t值又需驗證是否符合要求，達到了命題的基本意圖.第一輪的改編暫告段落，第二輪改編目標是第（2）題的第②小題.

3 延續格局編題眼

最后一小題往往是壓軸題的題眼，是“壓點”所在.以等腰三角形、相似三角形、平行四邊形等為對象的存在性分類討論問題，是近年來各地中考壓軸題中比較常見的一種題型，根據壓軸題命題的原則，對于這種在平時的中考復習中反復操練、講解的題型，一般盡可能回避，以引導教師注重通式通法的講解，多培養學生的思維和探究能力，而不是靠反復操練取勝.但要跳出圈子進行創新，又何其難.我們先作了如下的嘗試：

方案一：② 當PQ=AB時，點R在拋物線上，以P，C，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形，求此平行四邊形的兩條對角線長之比.

評析 當P點在AO或OC上時，都存在PQ=AB的情形，所以此時能達到分類討論的目的，但問題在于，此時在拋物線上是否存在點R，使以P，C，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形呢？通過計算，答案是否定的.此方案顯然不可行.

方案二：② 當PQ∥AC時， 點R在拋物線上，以P，C，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形，求此平行四邊形的兩條對角線長之比.

評析 首先，PQ∥AC這個條件大家都認為很好，與第①小題PQ⊥AC呼應，都屬于動態過程中的特殊位置關系.通過計算，當t=時，PQ∥AC，而此時，在拋物線上仍不存在點R，使以P，C，Q，R為頂點的四邊形是平行四邊形.平行四邊形這條路是走不通了，但方案二仍是個有效地嘗試，延續第①小題的格局，我們確定把PQ∥AC作為第②題的條件.

方案三：② 當PQ∥AC時， 試在拋物線對稱軸上找一點M，x軸上找一點N，使得五邊形BPMNQ的周長最小并求出周長最小值.

評析 方案三擺脫了常規思路，提出了五邊形周長的最小值，讓我們眼前一亮，但細細一推敲，此方案無非考查點的對稱性，如圖5，只要作出P、Q點分別關于拋物線對稱軸和x軸的對稱點P′、Q′，連結P′Q′即可找到M、N點，思維含量低，思想方法單一.隨即也就排除了該方案.考慮過了特殊圖形（平行四邊形）、圖形邊長（周長），自然想到了角的關系，于是有了方案四.

方案四：② 當PQ∥AC時， 若H是拋物線上的一點，使得∠HOP>∠POQ，求點H的橫坐標xH的取值范圍.

評析 此方案的出現，感覺離我們的目標越來越近了.

要求∠HOP>∠POQ，只需先求∠HOP=∠POQ，體現了轉化思想和以不變應萬變的動態解題思想.∠HOP=∠POQ又有兩種情形，考查了分類討論思想.當H1為直線OQ與拋物線的交點時，有∠H1OP=∠POQ，作Q點關于OP的對稱點Q′，當H2為直線OQ′與拋物線的交點時，也有∠H2OP=∠POQ，所以問題轉化為求交點H1和H2的坐標.此時又遇到了兩個問題，一是求直線與拋物線的交點坐標牽涉到解二元二次方程組的問題，超出了課程標準的范圍；二是如何求Q′的坐標呢？我們花了整整一個下午的時間來討論這個問題，也沒有找到合適的方法（當然后來我們還是找到了解決的通法，但一開始確實走了很多彎路），而且計算量也很大，這迫使我們去思考，會不會是題干中的數據條件沒有湊好？能不能調整條件使Q′的坐標比較好求呢？于是有了第三輪改編.

4 探尋通解定題型

第三輪改編在第二輪方案四的基礎上，即在確定題①當PQ⊥AC時，求t的值；題②當PQ∥AC時，若H是拋物線對稱軸上的一點，使得∠HOQ>∠POQ，求點H縱坐標的取值范圍的情況下，通過調整動點移動的速度，以使計算簡潔.兩種不同的思路產生了如下兩種方案：

方案一：如圖7，拋物線為y=x-5，點P從點B出發點沿BA的方向以08個單位長度 /s的速度向點A移動，2秒后點Q從點B出發，以8個單位長度/s的速度沿BC，CO，OA的方向向點A移動，其中一點到達終點后，另一點也隨之停止移動.點P移動的時間為t秒.

評析 此方案通過調整動點移動的方向和速度，使當PQ∥AC時，點P、Q處在一個非常特殊的位置，如圖8，即有PQ⊥OQ，從而有△DEQ≌△PBQ，能較方便的求出點P關于OQ的對稱點D的坐標，點H2的坐標自然可得.但在成功的片刻喜悅之后，不免也覺得，此種情形的特殊性，人為編造的痕跡太明顯，反而缺失了命題的信度.而且此方案仍沒有解決通法問題.

方案二：如圖9，拋物線為y=x2-4x-2，點P由點A出發以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q由點A出發以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB方向向點B移動，當一點到達終點時另一點也停止移動，點A的移動時間為t 秒.

評析 此方案也設置了一個特殊的環境，如圖10，使PQ∥AC時，點P恰好在第四象限的角平分線上，從而有∠AOE=∠COQ，根據相似很容易可得E點坐標，OQ關于OP的對稱直線OE的解析式也就輕松可求.此方案雖然解決了“可求”的問題，但跟方案一一樣，還是沒有解決通法問題，且此時解題的思維含量低，考查面狹窄，所用數學思想也較單一.現在問題的關鍵是如何在坐標系中求一個點關于某條直線的對稱點坐標，根據我們的直覺，一定存在解決這個問題的通法，于是我們把重點放在通法的尋求上，最終的試題也就應運而生了.

題目：如圖11，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連結AC，拋物線y=x2-4x-2經過A，B兩點.

（1） 求A點坐標及線段AB的長；

（2） 若點P由點A出發以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點B移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t 秒.

① 當PQ⊥AC時，求t的值；

② 當PQ∥AC時，對于拋物線對稱軸上一點H，∠HOQ>∠POQ，求點H的縱坐標的取值范圍.

評析 經過改編后，試題很好地融合了四邊形、三角形、直線的位置關系、三角形全等、三角形相似、對稱變換及函數、方程等初中階段核心知識，涉及函數思想、方程思想、分類討論思想，較有效地考查了學生運用抽象思維解決較為復雜的數學問題的能力.尤其是第（2）題的第②小題的解答（如圖12），須通過作對稱點構造全等三角形和相似三角形，融合了幾何的核心知識，而要找出其中的相等量，對學生的探究能力要求較高，有較好的區分度，壓軸意味明顯，與我們的設計目標符合.可以看到，經過多次的改編、反思、再改編，最后出來的成題已與課本題源有較大變化，但考查的核心點卻沒有多大改變，更突出對探究能力的考查，要解答好這個題目，并不能靠一味地操練所能做到的，較好地實現了我們預期的目標.