阿基米德折弦定理及其推論的應用

1 折弦定理

如圖1，AB和BC組成一個圓的折弦，如果BC>AB，M是ABC的中點，則從點M向BC所作垂線之垂足F為折弦ABC的中點，即FC=FB+BA.

證明：如圖1，在BC上取點D，使CD=AB，連結MA、MB、MC、MD.

因為AM=MC，所以AM=MC.又∠DCM=∠BAM，CD=AB，所以△ABM≌△CDM，所以MB=MD.而MF⊥BD，故BF=DF，所以FC=CD+DF=AB+BF.折弦定理是由著名的數學物理學家阿基米德發現并命名的，因此，人們亦稱之為阿基米德折弦定理.

根據折弦定理，還可得到如下兩個推論：

推論1 當M是折弦ABC的ABC的中點時，有AB·BC=MC2-MB2；

證明：當M是折弦ABC的ABC的中點時，如圖1，由勾股定理及折弦定理知.

MC2-MB2=CF2-FB2=（CF+FB）（CF-FB）=BC·AB.

推論2 當M是折弦ABC的AC的中點時，有AB·BC=MB2-MC2.

證明 當M是折弦ABC的AC的中點時，如圖2，取ABC的中點N，連結NB、NC、 NM，由（1）知NC2-NB2=AB·BC.顯見，NM為圓的直徑，故NC2+MC2=NM2，NB2+MB2=NM2，所以NC2-NB2=MB2-MC2，所以MB2-MC2=AB·BC.

2 定理及其推論的應用

例1 在△ABC中，AB>AC，∠A的一個外角平分線交△ABC的外接圓于點E，過E作EF⊥AB，垂足為F，求證2AF=AB-AC.

證明 如圖3，連結EB，EC，則∠1=∠2=∠3=∠4，又∠2=∠EBC，所以∠4=∠EBC，EB=EC，所以E是折弦弧BAC的中點，由折弦定理，可得BF=FA+AC，AB-FA=FA+AC，所以2FA=AB-AC.

例2 如圖4，A，B，C，D是圓上四點，AB=BC=CD.求證：BD2=AB（AB+AD）.證明 因B是AC的中點，對折弦ADC，由推論，知AD·DC=BD2-AB2.

教學實踐表明，注意對著名幾何定理的研究，對于幫助學生理解課本內容，提高分析問題和解決問題的能力，提高發散解題水平，啟迪思維均頗有益處，同時這樣的專題研究，既有利于學生系統靈活地掌握學過的課本知識，提高學習效率，又有利于提高數學思維的能力和綜合運用知識的能力，更有利于培養學生的思維品質，調動學生學習的積極性，提高學生的專題總結水平，融會貫通所學過的幾何代數知識，培養學生研究數學的興趣，提高教與學的質量.對于培養學生探索精神和創新意識將會起到積極的作用.因而，隨著教育的不斷現代化，引導學生探究幾何定理的應用，體現數學研究的潛能是十分重要的.