函數使矩形“有章可循”

矩形的周長、面積的變化是數學中經常面對的問題.我們通過下面兩個問題體會如何利用函數處理與矩形有關的問題，同時還要認識到建立數學模型是解決這類問題的關鍵.

問題一：矩形周長不變時，面積如何變化；面積不變時，周長如何變化？

要想解決這個問題我們得先解決這個問題：如何找到周長、面積不變的矩形呢？我們借助一次函數及反比例函數圖象去構造矩形，可以找到周長、面積不變的矩形.

圖1是一次函數y=-x+b（b>0）圖象，在第一象限的圖象任一點P向x軸，y軸引垂線可得矩形PAOB.設點P的坐標為（x，y），可得x+y=b.也就是說矩形PAOB的鄰邊之和為b.由此我們可以得出在直線y=-x+b第一象限上任一點所得的矩形的周長都是等于2b.

將兩函數圖象放到同一坐標系內，就可直觀發現矩形周長不變面積變化、面積不變周長變化的規律了.

如圖3，現在讓直線不動，也就說周長一定時，讓反比例函數動（對應著圖3中位置①②③），也就說面積在變.可知周長一定時，面積沒有最小值，只有最大值.

如圖4，現在讓雙曲線不動，也就是說矩形面積不變時，讓直線在動（對應著圖4中位置①②③），也就是周長在變.可知周長沒有最大值，只有最小值.

我們由圖3和圖4可知當直線和雙曲線只有一個交點（即位置②）時就是面積最大和周長最小的位置.那么何時兩圖象才會有一個交點呢？這得從雙曲線的特征進行分析和理解.

問題二：三角形的內接矩形面積如何變化；矩形不變時，矩形的外接三角形面積如何變化？

（我們規定：兩個頂點在三角形的一邊上，另兩個頂點分別在另兩條邊上的矩形叫做三角形的內接矩形，三角形叫做矩形的外接三角形）

三角形某一邊上可以作矩形無數個，它的面積是變化的，此時我們更關注所得的矩形的面積是否有最值，有最值時的矩形是怎樣的特征，僅憑直觀很難描述清楚.

那么我們將上面問題轉化下面的問題就可以表達清楚了.

我們由上面的兩個問題可以發現，利用一次函數與反比例函數的圖象及意義構建矩形模型使矩形的周長、面積的關系直觀，清晰.對于三角形中與其內接矩形的關系，通過建立數量間的函數關系，使變量之間的數量關系明顯，從而矩形的特征便于發現利于問題的解決.