金蟬脫殼的除法問題

湖南的符云錦老師在其博客上提出一個有趣的除法問題：

給定一個整數α，若存在一個正整數λ，使得α÷λ=β，β是整數α去掉最高位的數字而得到的整數，則這樣的整數α有多少個？

符老師找到了幾個例子，125÷5=25，25÷5=5，15÷3=5，36÷6=6，45÷9=5，48÷6=8，120÷6=20，…

筆者對這個問題很感興趣，認真研究一番后，完滿地解決了該問題，現不揣冒昧，寫出來與大家分享.

為了敘述方便，不妨稱這樣的整數α為金蟬脫殼數，很明顯，若正整數α是一個金蟬脫殼數，則-α也必定是金蟬脫殼數，因此，只研究α是正整數即可.

由于β是整數α去掉最高位的數字而得到的整數，因此β和α的個位數字是一樣的，通過一一檢測可知，λ的個位數字只能是1，3，5，6，7，9.

1 除數λ最多是兩位數

若除數λ是三位數及以上的，在做α÷λ=β時，β的位數比α不是少一位數字，而是至少要少兩位數字.因此，除數λ最多是兩位數.2

當λ是一位數時，只能是3，5，6，7，9

設α的最高位數字為a.令α=10n×a+b（n∈

例1 當λ=3時，求兩位數的金蟬脫殼數.

解 在①中，令λ=3，n=1，得b=5a.

（1）當a=1時，b=5，此時α=15，15÷3=5.

例2 當λ=3時，求四位數的金蟬脫殼數.

解 在①中，令λ=3，n=3，得b=500a.

（1）當a=1時，b=500，此時α=1500，1500÷3=500.

例3 當λ=5時，求三位數的金蟬脫殼數.

解 在①中，令λ=5，n=2，a×100+b=5b，即b=25a.

（1）當a=1時，b=25，此時α=125，125÷5=25；

（2）當a=2時，b=50，得250÷5=50；

（3）當a=3時，b=75，得375÷5=75.

例4 當λ=6時，求兩位數的金蟬脫殼數.

解 在①中，令λ=6，n=1，得b=2a.

（1）當a=1時，b=2，此時α=12，12÷6=2；

（2）當a=2時，b=4，得24÷6=4；

（3）當a=3時，b=6，得36÷6=6；

（4）當a=4時，b=8，得48÷6=8.

3 當λ是兩位數時，逐一檢測可知， λ只能是11，21，31，41，51，61，71，81，91，13，15，16，17，19，26，36，46

例5 當λ=21時，求兩位數的金蟬脫殼數.

解 在①中，令λ=21，n=1，得b=

（1）當a=2時，b=1，此時α=21，21÷21=1；

（2）當a=4時，b=2，得；42÷21=2；

（3）當a=6時，b=3，得63÷21=3；

（4）當a=8時，b=4，得84÷21=4.

例6 當λ=16時，求四位數的金蟬脫殼數.

解 在①中，令λ=16，n=3，得b=

（1）當a=3時，b=200，此時α=3200，3200÷16=200；

（2）當a=6時，b=400，得6400÷16=400；

（3）當a=9時，b=600，得9600÷16=600.

由上述6個例題可知，由公式①可以計算出任意位數的金蟬脫殼數，因此，金蟬脫殼數有無窮多個.