“基本的幾何圖形”教材分析與教學建議

“基本的幾何圖形”是青島出版社出版的《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊的第1章.為幫助教師更好的研究教科書、使用教科書，引導學生學好基本的幾何圖形，并以此為基礎學好“圖形與幾何”的有關內(nèi)容，進而學好數(shù)學，我們首先就本章教科書的內(nèi)容、學生的學情與學法進行分析，然后在此基礎上提出教學建議.

1 教材分析

我們生活在一個豐富多彩的圖形世界里，幾何圖形隨處可見.本章研究的內(nèi)容是基本的幾何圖形.點、線、面、體是人們通過對自然現(xiàn)象的觀察和生活實踐的體驗抽象出來的數(shù)學概念，是基本的幾何圖形，也是“圖形與幾何”領域中最基本的概念，還是組成幾何圖形的元素.線段、射線、直線是研究數(shù)軸、直角坐標系、函數(shù)圖象以及各種幾何圖形的基礎.

本章內(nèi)容中滲透了抽象、數(shù)形結合、分類、化歸等重要的數(shù)學思想和方法，并開始學習圖形語言、符號語言的初步知識，這對于學生的后繼學習具有重要的作用.

1.1 本章的知識結構[TPlsc-1.tif，BP]

1.2 內(nèi)容簡析

本章的主要內(nèi)容是圖形的初步認識.包括三個方面：一是從三維空間中的大量實例入手，分別由兩個“交流與發(fā)現(xiàn)”、三個“觀察與思考”、四個“實驗與探究”欄目引導學生進行觀察、思考、交流、發(fā)現(xiàn)、想象、實驗探究等活動，讓學生在經(jīng)歷這些活動的過程中抽象出一些常見的幾何圖形，認識常見的幾何體及點、線、面的一些性質(zhì)；二是由三維過渡到二維、一維，在立體幾何與平面幾何的轉換中發(fā)展學生的空間觀念和幾何直觀；三是在現(xiàn)實情境中認識線段、射線和直線，認識它們的區(qū)別和聯(lián)系，學習它們的表示方法、畫法及線段大小的比較，通過探究，得出兩點確定一條直線和兩點之間線段最短的性質(zhì).

本章教科書共分4節(jié).第11節(jié)教科書首先給出了6幅圖片：夜空中閃爍的星星，給人們留下“點”的形象；現(xiàn)代化都市中形形色色的建筑群，使學生聯(lián)想到有的物體的形狀是相同的，有的是不同的；立交橋上層行駛的汽車不會影響下層行駛的汽車，讓學生感受到空間中的物體存在不同的位置關系；鸚鵡螺展示了美妙的曲面和螺線；美麗的楓葉給學生留下了同一種形狀的多邊形的感覺；展開雙翅的蝴蝶能給學生對稱的感覺.這六幅照片分別來自宇宙、大自然、現(xiàn)代社會的住和行，其目的在于引導學生從生活原型中“捕捉”到有關圖形的信息，感受到我們身邊的圖形世界是豐富多彩的，數(shù)學中所研究的幾何圖形正是從現(xiàn)實生活中抽象出來的.然后通過“觀察與思考”欄目設計了兩個活動：（1）觀察生活中幾何體的四個實例圖片：茶葉桶、足球、魔方和漏斗，觀察“這些圖片中的物品各具有怎樣的形狀？”（2）觀察四對泥人圖片，思考“各對泥人的形狀相同嗎？大小相等嗎？”通過以上活動，引導學生明確要認識周圍世界的事物，常常需要描述事物的形狀和大小.使學生經(jīng)歷從生活實例出發(fā)抽象出幾何圖形和數(shù)學概念的過程，由此得到幾何體的定義.最后，教科書分別給出了兩幅平面圖片和兩幅曲面圖片，讓學生認識到，看物體要從表面看起，自然界和人工制作的物體表面分為平的和曲的兩種.這些都是兒童時期就已經(jīng)形成的感性知識.本節(jié)教科書就是從三維空間開始，給學生提供一些熟悉或感興趣的真實素材，從具體情境中加深對平的面和曲的面的印象.

第12節(jié)是在學生已經(jīng)接觸了點、線、面、體的初步知識的基礎上，對學生已有知識的總結和提高.教科書由一個“觀察與思考”、一個“實驗與探究”和一個“交流與發(fā)現(xiàn)”欄目組成.長方體是學生最熟悉的一種幾何體，教科書便抓住長方體模型，首先用“觀察與思考”欄目，創(chuàng)設了由6個問題組成的問題情境.在讓學生觀察思考這些問題的同時，及時給出有關的概念.伴隨著概念的出現(xiàn)，教科書適時地給出了與之相關的知識.例如，在給出棱和頂點的概念后，教科書及時指出點是組成幾何圖形的基本元素，數(shù)學上的點是沒有大小的.再如，教科書在給出了幾何圖形的概念后，及時讓學生觀察三幅圖片（流星雨、打開的折扇、旋轉門），其目的是讓學生從運動的觀點得到“點動成線、線動成面、面動成體”的事實，揭示了點、線、面、體這四個不同維度的幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系.

其次，教科書通過“實驗與探究”設計了正方體表面展開的操作活動，意在讓學生通過對正方體的再認識，進一步理解幾何圖形是由點、線、面、體組成的，發(fā)展學生的幾何直觀，并通過正方體的表面展開圖及制作正方體模型，很自然地展現(xiàn)立體圖形與平面圖形之間的轉化過程.

最后，教科書用“交流與發(fā)現(xiàn)”欄目提出兩個問題，引導學生通過對用硬紙板“制作正方體”問題的觀察、思考、交流等活動，讓學生經(jīng)歷“展開”的逆過程：即將按一定方式排列的6個相鄰的小正方形，通過折疊圍成一個正方體.意在使學生對照折成的正方體的各個面在平面展開圖中的相對位置，感受平面圖形與折成的立體圖形各個小正方形的排列規(guī)律，以培養(yǎng)學生的空間觀念和思維能力.

第13節(jié)是讓學生加深和拓展在第一、二學段所學的線段、射線和直線的內(nèi)容.教科書從學生熟悉的拔河這一實際情境出發(fā)，使學生感受到線段的概念來源于我們的生活實際，以加深學生對線段特征的理解，并由此出發(fā)建立射線和直線的概念.教科書沒有沿用傳統(tǒng)的歐氏幾何體系，而是從學生的生活實際和認識規(guī)律出發(fā)，從教學的角度，先引進線段的概念，再將它向一個方向和兩個方向無限延伸，使學生認識射線和直線.這樣安排的目的在于降低難度，便于學生接受，也一進步驗證了“數(shù)學來源于生活”的觀點.在給出線段、射線和直線的概念后，教科書給出了它們的表示方法，這是學習數(shù)學符號語言的起點.例題1的目的是告訴學生學習數(shù)學時，應抓住問題的本質(zhì)去思考問題，防止非本質(zhì)的現(xiàn)象干擾正常的思維.閱讀欄目“智趣園”——以直“繡”曲，目的是幫助學生逐步樹立對立統(tǒng)一的觀點.

有了上述認識后，教科書從點和直線的位置關系入手，給出直線的基本性質(zhì).首先用“觀察與思考”欄目給出了一副圖，上面有高壓線和四只麻雀，其中兩只在高壓線上，兩只在高壓線外，讓學生通過觀察，得到一個感性認識：點和直線有兩種位置關系.然后用“實驗與探究”欄目，引導學生進行作圖實驗，在實驗的基礎上得到《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）要求學生掌握的第一個基本事實：兩點確定一條直線.在這之后，教科書給出了兩條直線相交和交點的定義，兩條直線相交是兩條直線位置關系的一種，兩直線平行的位置關系將在本套教科書中的七年級下冊介紹.空間中兩直線異面的情況，在義務教育階段不做要求.

第14節(jié)教科書首先用“實驗與探究”欄目提出問題：“比較兩支鉛筆”的長短？引導學生從“疊合”的角度歸納比較兩條線段長短的方法；然后用“交流與發(fā)現(xiàn)”欄目創(chuàng)設了一個圖文并茂的生活情境——誰走的路近？使學生從熟悉的情境中，感受到“兩點之間線段最短”的基本事實.并及時地給出了兩點間距離的概念.教科書最后通過“實驗與探究”欄目創(chuàng)設了一個如何“把一根木料鋸成長度相等的兩段”的情境，以此給出線段中點的定義.本節(jié)課的課文和例題都注意了將文字語言、符號語言與圖形語言相結合，使學生逐步接受并熟悉這些語言，從而循序漸進地進行多種形式的語言訓練.

1.3 課程目標

《標準》中關于課程目標是從“知識技能”、“數(shù)學思考”、“問題解決”和“情感態(tài)度”四個方面進行論述的.本章的課程目標為：

知識技能：（1）了解幾種常見的幾何體.（2）理解點與直線的位置關系.掌握直線的基本性質(zhì)：兩點確定一條直線.（3）掌握線段的基本性質(zhì)：兩點之間線段最短.理解兩點間的距離的意義，會度量兩點之間的距離.（4）會比較線段的長短，會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段.

數(shù)學思考：（1）通過豐富的實例，進一步認識點、線、面、體，發(fā)展在小學階段初步建立起來的空間觀念和幾何直觀.（2）經(jīng)歷對簡單圖形的觀察、思考、實驗、猜想、推斷等活動，發(fā)展合情推理、有條理的思考與表達能力.（3）經(jīng)歷觀察、測量、展開、折疊、模型制作等數(shù)學活動，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，加深對基本的幾何圖形的認識，通過正方體的表面展開圖以及制作正方體模型等例子，體驗立體圖形與平面圖形的相互轉化.（4）能用實例驗證關于直線、射線和線段的某些推斷或猜想.

問題解決：（1）能通過觀察和動手操作，理解有關點、線、面、體的基本概念.（2）能辨別直線、射線、線段等相近概念，比較它們間的異同.（3）能按要求畫出直線、射線或線段，并能用符號正確表示這些幾何圖形.（4）能按要求等分給定的線段.情感態(tài)度：（1）在探究和認識基本幾何圖形的過程中，發(fā)展空間觀念，激發(fā)對幾何學習的好奇心和求知欲，樹立積極參與數(shù)學活動、主動與同學合作交流的意識.（2）在用符號表示點、線的過程中，感受符號在描述圖形中的重要作用.（3）體驗觀察、實驗、歸納、類比、推斷等數(shù)學活動在數(shù)學學習中的重要作用.

1.4 教學重點、難點和關鍵

本章的教學重點是：

（1）認識點、線、面、體，知道立體圖形與平面圖形；掌握線段、射線、直線的有關概念、性質(zhì)和表示方法，以及有關文字、圖形和符號語言的表述；理解兩點間的距離的意義，會度量兩點之間的距離；掌握直線和線段的基本性質(zhì)；會比較線段的大小，理解線段的和、差及中點的意義，并會用刻度尺或尺規(guī)畫出線段的和、差、倍、分.

（2）感受符號語言在描述圖形中的作用.

本章的教學難點是了解平面圖形與立體圖形可以相互轉化；對線段、射線、直線等有關概念和性質(zhì)的理解及其文字語言和符號語言的表述，以及研究對象“由數(shù)到形”的過渡而帶來的學習方式上的不適應.

關鍵在于對各種圖形的觀察與分析，以及對概念和性質(zhì)的語言表述.突破難點的方法是，注重既要從感性認識出發(fā)，充分利用學生的生活經(jīng)驗以及實物和圖形直觀地認識圖形，又要從具體的實例和圖形中抽象出事物的本質(zhì)屬性，體會幾何的研究對象和方法.

2 學情分析與學法指導

2.1 常見的認知誤區(qū)和思維障礙

（1）缺乏空間想象能力

同學們在探究正方體形狀的包裝盒及觀察利用硬紙板制作正方體的折疊過程中，由于受小學平面思維定勢的影響，往往出現(xiàn)錯誤的判斷.

（2）不能從本質(zhì)上理解有關概念

有些學生不能從本質(zhì)上把握概念，導致學習效果不理想.例如，線段、射線和直線是最基本的幾何圖形，由于初學的同學不能從本質(zhì)上理解線段、射線和直線，就出現(xiàn)了對于三者的區(qū)別和聯(lián)系混淆的情況，表現(xiàn)在①指出給定圖形中的線段、射線及直線時出現(xiàn)重復或遺漏的現(xiàn)象；②延長線段時，對方向把握不準.錯誤地認為“兩點之間線段最短”與“兩點間的距離”是一個問題等.

（3）語言混淆

數(shù)學有三種語言，文字語言、符號語言和圖形語言，本章是初中的起始章，學生初次接觸這些語言，一時難以區(qū)分，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象.例如，有的學生雖然能背誦“兩點之間線段最短”這句話，但讓學生在給定的圖形中，找出這句文字對應的圖形時，不能正確地找出.

2.2 學法指導

（1）引導學生聯(lián)系生活實際.教師要充分利用學生所熟悉的圖形，引導學生進行觀察、思考、交流等活動.在學生認真觀察圖形的基礎上，引導他們思考、分析、交流，從而引出有關概念.通過思考能促使學生把觀察得到的感性認識上升為理性認識，

（2）對于基本事實的學習，要引導學生通過實驗進行探究.本章出現(xiàn)了《標準》中規(guī)定的兩個基本事實，對于它們的學習、理解，教師要創(chuàng)設一定的問題情境，引導學生進行操作、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納等活動.在活動的過程中發(fā)現(xiàn)并得到這些基本事實.

（3）引導學生結合具體的圖形掌握文字語言、符號語言和圖形語言，并能相互轉換.

3 教學建議

3.1 重視數(shù)學活動經(jīng)驗的積累

數(shù)學活動經(jīng)驗既有學生針對有關數(shù)學活動而獲得的那些直接經(jīng)驗，也有學生經(jīng)過不同程度的自我反省而提煉出來的個體知識.幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標.《標準》指出“教學中注重結合具體的學習內(nèi)容，設計有效的教學探究活動，使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程.”事實上，經(jīng)歷過程是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑.

案例1：“兩點之間線段最短”的發(fā)現(xiàn)過程.

“兩點之間的所有連線中，線段最短”是線段的重要性質(zhì)，對于它的學習，可以設計下面的問題，讓學生去思考、交流并發(fā)現(xiàn)：

如圖1，從王莊到李村有三條路.小明、小亮和大剛分別騎自行車從王莊出發(fā)，沿不同的路去李村，誰走的路近？

這樣的設計，來源于學生的生活實際，能激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的積極性，并且引發(fā)他們進行深刻的數(shù)學思考.學生憑借已有的生活經(jīng)驗就可以知道，小亮走的路近.學生得到這一結論，是生活經(jīng)驗的結果，如何用數(shù)學的知識解釋呢？

教師要適時加以引導：如果把圖1中的各條道路都拉直，并把它們都看成線段，然后比較這些線段的大小，可以知道小亮走的路確實是最短的.再問學生由此可以得到什么結論？學生便能歸納出“兩點間所有連線中線段最短”，從而得到基本事實.

這樣導學遠比教師直接給出結論，學生的印象深刻，更重要的是學生學會了積累經(jīng)驗、利用經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學知識的方法.正如華東師范大學的張奠宙教授曾指出的那樣，“數(shù)學其實不完全是從現(xiàn)實生活情景中直接產(chǎn)生的.人們基于日常生活經(jīng)驗，還必須通過一些感性或理性的特有數(shù)學活動，才能把握數(shù)學的本質(zhì)，理解數(shù)學的意義.”

3.2 創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，引發(fā)學生積極思考和探索

數(shù)學教學活動應體現(xiàn)《標準》提出的“問題情境——建立模型——求解驗證”的模式，為此，教師要根據(jù)學習內(nèi)容，結合學生的學習實際精心創(chuàng)設問題情境，以此引導學生去進行探究、發(fā)現(xiàn)等活動.

案例2：“幾何圖形”的學習.

長方體是學生最熟悉的一種幾何體，教學時應抓住這個學生熟悉的長方體模型，創(chuàng)設下面的問題情境引導學生去觀察與思考：

圖2是一個長方體模型，其中加有陰影的一面的形狀是正方形.

（1）在圍成長方體的各個面中，與加有陰影的一面相對的面有幾個面？它的形狀是什么圖形？與它相鄰的面呢？

（2）找出圖2中相鄰兩個面的交接處，它的形狀是什么圖形？

（3）找出圖2中棱與棱的交接處，它是什么圖形？

（4）數(shù)一數(shù)，一個長方體有多少條棱、多少個頂點？

（5）觀察圖2，長方體的各個頂點都在同一平面內(nèi)嗎？

在以上問題的引導下，學生通過觀察、思考、探索等活動，就能對長方體有一個全面的認識，教師結合學生對這些問題的回答，適時的給出長方體的棱、頂點、幾何圖形等有關概念.使學生對這些概念的學習感到自然，不是強加的，同時加深了對生活與數(shù)學相互聯(lián)系的理解.3.3 充分尊重學生的主體地位，注重學習方式的轉變

《標準》指出：“學生應該有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”.為了體現(xiàn)這個理念，教學中要充分利用教科書中的“實驗與探究”、“觀察與思考”和“交流與發(fā)現(xiàn)”等欄目，圍繞學習的主題精心設計大量豐富而又有意義的數(shù)學活動，并用問題串的形式激發(fā)學生積極地進行觀察、思考、動手實踐、合作交流等數(shù)學活動.讓他們在參與有關活動的過程中通過獨立思考、自主探索、發(fā)現(xiàn)知識、尋找規(guī)律，從而成為學習的主體，從而逐步實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

案例3：“兩點確定一條直線”的歸納過程.

對于“兩點確定一條直線”的基本事實，應讓學生通過作圖實驗，親身感受到經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過兩點能且只能作一條直線.基于這一想法，我們可以用下面的問題引導學生自主發(fā)現(xiàn)：

用直尺過點作直線，試一試.過一點能作幾條直線？過兩點能作幾條直線？

學生經(jīng)過動手操作發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過兩點能且只能作一條直線，如圖3所示：

這樣，教師再引導學生用自己的語言把作圖過程中發(fā)現(xiàn)的結論說出來，學生很容易得到，兩點確定一條直線的結論.

除此之外，教師還應引導學生通過作圖，體驗到兩條直線相交，只有一個交點.至于它的道理教師可用反證法的思想加以解釋，但不能要求學生敘述，以免加重學生負擔.

以上是我們對“基本的幾何圖形”一章的教材分析與教學建議，希望老師們加強研究和學習《標準》，深入研究教科書，廣泛閱讀相關的材料，積極借鑒國內(nèi)外的最新課程研究成果，創(chuàng)造性的使用教科書，不斷改進教學方法，努力提高數(shù)學教育教學質(zhì)量.