對(duì)優(yōu)秀講題案例的策略闡釋

講題既是有效教學(xué)的重要途徑，又是有效教研的重要形式.常規(guī)教研更注重教材的處理，題的研究不是主線，而講題抓住了有效教學(xué)的龍頭，將學(xué)習(xí)任務(wù)分割為循序漸進(jìn)的遞進(jìn)階段.教師講題的基本操作，就是把審題、分析、解答和回顧的思維過(guò)程按一定規(guī)律一定順序說(shuō)出來(lái)，并視學(xué)生的基礎(chǔ)、能力、時(shí)間和環(huán)境的許可、引申發(fā)展的需要，決定詳講或略講.本文就廣州市初中數(shù)學(xué)講題比賽中出現(xiàn)的一些優(yōu)秀案例，分析其共同特性，闡釋解題策略，為提高教師講題能力做一些嘗試.

1 共性分析

1.1 精心準(zhǔn)備是講題成功的基礎(chǔ)

精心準(zhǔn)備是講好題的基礎(chǔ).參賽教師從講演稿、穿著、講題的表情、動(dòng)作等都準(zhǔn)備得十分充分，而且在對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的分析也比較到位.注意了：學(xué)生已經(jīng)理解、掌握的內(nèi)容不需多講；學(xué)生雖了解但隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深化和要求的提高，需指導(dǎo)的講；學(xué)生理解不深，掌握不熟練的內(nèi)容只做稍加點(diǎn)撥的講；還屬于難點(diǎn)的知識(shí)需精心的講.懂得通過(guò)對(duì)知識(shí)體系的歸納整理來(lái)突顯重點(diǎn)知識(shí)在整個(gè)知識(shí)體系中的重要地位，以達(dá)到突出重點(diǎn)的目的.

1.2 提高技能是精彩講題的手段

在優(yōu)秀講題案例中，教師在教學(xué)語(yǔ)言技能方面表現(xiàn)出正確恰當(dāng)、清楚易懂、生動(dòng)形象.正確恰當(dāng)就是語(yǔ)言、語(yǔ)調(diào)、用詞的恰當(dāng)，內(nèi)容有根有據(jù)，正確無(wú)誤.清楚易懂就是簡(jiǎn)潔明了，表達(dá)清楚，層次分明，邏輯性強(qiáng).生動(dòng)形象就是淺白易懂，沒(méi)有平鋪直敘，語(yǔ)言流暢，有聲有色，活靈活現(xiàn).不少教師巧妙制造講題氛圍，通過(guò)豐富的表情、抑揚(yáng)頓挫的語(yǔ)調(diào)加上適當(dāng)?shù)膭?dòng)作，滔滔不絕，越講越有狀態(tài)，聽(tīng)眾越聽(tīng)越起勁.

1.3 策略運(yùn)用是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵

與講題過(guò)程密切相關(guān)的是選擇什么策略突出重點(diǎn)，解決難點(diǎn).教師十分重視突出數(shù)學(xué)概念、公式、定理運(yùn)用過(guò)程的呈現(xiàn)，側(cè)重突出內(nèi)容各要素及其間的關(guān)系，從而達(dá)到突出重點(diǎn)的目的.對(duì)由于知識(shí)內(nèi)容比較抽象而學(xué)生經(jīng)驗(yàn)又較少而形成的難點(diǎn)，教師能輔以模型、圖表、具體操作等直觀形象，以適當(dāng)降低抽象度，不斷豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，逐步提高學(xué)生抽象思維能力.在這一過(guò)程中，教師還注意對(duì)“具體”程度的控制，不用太平常的“具體”背景，以有利于學(xué)生突破難點(diǎn).

2 策略闡釋

講題重點(diǎn)是講解決問(wèn)題的策略，數(shù)學(xué)題目的解決策略，是指探求數(shù)學(xué)題目的答案時(shí)所采取的途徑和方法.方法是有層次性的，題目解決的策略是最高層次的解題方法，是對(duì)解題途徑的概括性的認(rèn)識(shí).

2.1 后推法策略

后推法策略是從屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的具體學(xué)習(xí)策略.數(shù)學(xué)問(wèn)題常是要求學(xué)生利用已知條件，來(lái)求解未知條件的數(shù)量，或證明未知條件的成立.這一過(guò)程主要是采取順向的邏輯推理方法，而順向方法的缺點(diǎn)是若思維方向不明確，容易使學(xué)生一旦走向不正確的思維方向時(shí)，就會(huì)迷失方向.而后推法是從問(wèn)題出發(fā)，向已知方向推導(dǎo).當(dāng)從未知向已知的聯(lián)系建立起來(lái)時(shí)，問(wèn)題往往變得比較容易解決.[TPwjh-1.tif，Y][TS（][JZ][HTK]圖1[TS）]

例1 （源自人教版教材九年級(jí)上冊(cè)P97頁(yè)例2）如圖1，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長(zhǎng).

策略闡釋：

第一步，弄清問(wèn)題，擬定計(jì)劃.先讓學(xué)生自己分析，題目的關(guān)鍵點(diǎn)是隱含了三個(gè)切線長(zhǎng)定理的基本圖形.學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了切線的相關(guān)知識(shí)，能較輕松解決切線長(zhǎng)定理的基礎(chǔ)題，但部分學(xué)生對(duì)剛學(xué)的切線長(zhǎng)定理沒(méi)有達(dá)成遷移的目標(biāo)，同時(shí)，本題是代數(shù)與幾何的綜合題，往往讓學(xué)生不能很好的把知識(shí)連貫起來(lái).因此，站在學(xué)生的角度去講題，在不同時(shí)機(jī)上采取針對(duì)學(xué)情的問(wèn)題解決策略.

第二步，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，向已知方向推導(dǎo).本題側(cè)重于切線長(zhǎng)定理應(yīng)用，是運(yùn)用方程思想、轉(zhuǎn)化思想等根據(jù)圖形特征設(shè)未知數(shù)列解方程（組），是一道利用幾何圖形性質(zhì)，采用代數(shù)方法解題的計(jì)算題.難點(diǎn)在于圖形中的等量關(guān)系；例如，在講原題前，通過(guò)抽取三個(gè)基本圖形有效地復(fù)習(xí)切線長(zhǎng)定理進(jìn)行知識(shí)鋪墊（題1-3），目的是降低學(xué)生尋找“AE=AF，BD=BF，CE=CD”這些相等線段（規(guī)律）的難度.

題1：圖2，BF、BD分別是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為F、D，圖中有哪些相等的線段？

題2：圖3和4中分別在圖1的基礎(chǔ)上增加了一條切線AC，圖中有哪些相等的線段？

利用這樣的方法進(jìn)行教學(xué)，既是幫助學(xué)生對(duì)過(guò)去內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)，也體現(xiàn)了課標(biāo)要求的螺旋式上升，在分析題目時(shí)注重了學(xué)生的原有認(rèn)知，訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)從題目所給的圖中找基本圖形，把復(fù)雜的圖形分拆成熟悉的簡(jiǎn)單圖形，即把圖1中的線段BC隱去，回到例1的基本圖形.等等.這樣就把新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個(gè)核心概念融入解題教學(xué)中，以達(dá)到引導(dǎo)和暴露學(xué)生思維的功效.

2.2 問(wèn)題探究策略

以問(wèn)題為起點(diǎn)進(jìn)行探究策略是從屬于數(shù)學(xué)元認(rèn)知的具體學(xué)習(xí)策略.該策略強(qiáng)調(diào)知識(shí)的過(guò)程性，希望學(xué)生產(chǎn)生對(duì)問(wèn)題的質(zhì)疑，激發(fā)提出新問(wèn)題的探索研究，最簡(jiǎn)單的情況就是各類方程概念的學(xué)習(xí).教師只是幫助學(xué)生利用這種混淆作為提出問(wèn)題和數(shù)據(jù)分析的起點(diǎn)，通過(guò)不斷辨別，達(dá)到正確理解.

例2 人教版七年級(jí)上冊(cè)P99第10題）甲騎自行車從A地到B地，乙騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進(jìn).已知兩人在上午8時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午10時(shí)，兩人還相距36千米，到中午12時(shí)，兩人又相距36千米.求A、B兩地間的距離.

策略闡釋：

第一步，先對(duì)題目涉及的知識(shí)點(diǎn)作了分析，指出要根據(jù)題目已知條件，畫(huà)出示意圖；設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目中的未知量；根據(jù)所找到的等量關(guān)系列出含常數(shù)分母的一元一次方程，解含有常數(shù)分母的一元一次方程，檢驗(yàn)解的合理性.由于學(xué)生在文字理解上和行走路線與時(shí)間的感覺(jué)較為抽象，因此利用動(dòng)態(tài)課件（如圖6）結(jié)合線段圖把兩次相距36千米的情況表示出來(lái).

[TPwjh-3.tif，BP][TS（][JZ][HTK]圖6[TS）]

第二步，說(shuō)明本題的是如何理解題目中兩次出現(xiàn)的“36千米”的意義與不同，根據(jù)行程問(wèn)題的三個(gè)量（速度、時(shí)間、路程）的關(guān)系式，利用題目的已知條件，畫(huà)出示意圖，找出本題隱含的等量關(guān)系進(jìn)行列方程解答.關(guān)鍵點(diǎn)是，通過(guò)設(shè)計(jì)學(xué)生親身參與的示范活動(dòng)和課件動(dòng)畫(huà)展示，讓學(xué)生理解題目?jī)纱纬霈F(xiàn)的“36千米”的不同意義，從而能較為準(zhǔn)確的畫(huà)出示意圖進(jìn)行等量關(guān)系的挖掘和表示.等量關(guān)系的挖掘上，讓學(xué)生明確這是行程問(wèn)題，關(guān)鍵是找到甲乙兩人的速度、時(shí)間、路程的表達(dá)式，以及他們之間的數(shù)量關(guān)系.

第三步，在黑板寫(xiě)下學(xué)生找到的關(guān)鍵字詞和已知數(shù)字所表示的意義（關(guān)鍵字詞：相向而行、同時(shí)出發(fā)、兩人都勻速前進(jìn).時(shí)間：第一次兩個(gè)小時(shí)，第二次兩個(gè)小時(shí)；路程：出現(xiàn)兩個(gè)36千米；速度：題目沒(méi)有明確給出）

第四步，對(duì)于題目?jī)纱纬霈F(xiàn)的“36千米”意義之不同，在學(xué)生畫(huà)出示意圖來(lái)幫助找到等量關(guān)系的思考過(guò)程中，針對(duì)部分學(xué)生會(huì)提出，這道題根本不需要列方程計(jì)算，可以使用算術(shù)方法解決，作了分析.第二個(gè)36千米代表兩個(gè)人2個(gè)小時(shí)一共走了72千米.那A、B兩地的距離就是兩人第一次兩個(gè)小時(shí)的路程加上他們相距的第一個(gè)36千米的和，即36+72=108.那根本不需要列方程就可以解決問(wèn)題.

第五步，反思：讀題時(shí)注意找準(zhǔn)關(guān)鍵字眼，從題型涉及的量的意義來(lái)考慮如何表達(dá)每個(gè)量.有效使用示意圖這個(gè)解題工具，能很好的把相關(guān)量之間關(guān)系清晰表達(dá)出來(lái).2.3 算法策略

算法策略是從屬于學(xué)習(xí)過(guò)程調(diào)節(jié)和控制的具體學(xué)習(xí)策略.該策略能指明具體的解題步驟，直至獲得問(wèn)題的最終答案.本策略主要運(yùn)用于較復(fù)雜的方程綜合題.這里的“算法”就是指解題的一套規(guī)則和步驟.如果一個(gè)問(wèn)題有算法，那么只要按照其規(guī)則進(jìn)行操作，就能獲得問(wèn)題的解.

例3 （八年級(jí)上冊(cè)P138頁(yè)第10題）已知A（8，0）及在第一象限的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），且x+y=10，設(shè)△OPA的面積為S.（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）求x的取值范圍.

策略闡釋：

第一步，難點(diǎn)分析，根據(jù)題目要求，畫(huà)圖，尤其是為什么要畫(huà)圖，怎樣確定動(dòng)點(diǎn)P的位置.從所求的函數(shù)關(guān)系式出發(fā)，思考如何能列出自變量為x的以三角形面積為因變量的函數(shù)關(guān)系式.自變量的取值范圍的確定.關(guān)鍵點(diǎn)分析，讓學(xué)生懂得畫(huà)圖解題，是個(gè)突破口.與講題過(guò)程密切相關(guān)的是突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的策略.教師選手們十分重視突出重點(diǎn)：突出數(shù)學(xué)概念、公式、定理的運(yùn)用過(guò)程的呈現(xiàn)，側(cè)重突出概念、公式、定理中的各要素及要素間的關(guān)系，從而達(dá)到突出重點(diǎn)的目的.學(xué)生也容易明確引入新知識(shí)的目的，以及新舊知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別.

第二步，本題對(duì)圖像與方程間知識(shí)過(guò)渡轉(zhuǎn)折過(guò)急而形成的難點(diǎn)，由具體數(shù)字過(guò)渡到抽象符號(hào)、由常量過(guò)渡到變量、由有限過(guò)渡到無(wú)窮、由點(diǎn)過(guò)渡到平面，都要經(jīng)歷一個(gè)突變的過(guò)程，學(xué)生思維一時(shí)轉(zhuǎn)不過(guò)彎，難以適應(yīng)這種變化.

怎樣確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，能引導(dǎo)學(xué)生把題目中關(guān)于P的敘述轉(zhuǎn)換并理解為“點(diǎn)P在直線y=10-x”上，是解題的關(guān)鍵.（以靜態(tài)分析動(dòng)態(tài)）最后自變量取值范圍的確定，是綜合考察了學(xué)生如何根據(jù)一次函數(shù)圖像的特征得出函數(shù)性質(zhì)及取值范圍的能力.第三步，學(xué)情分析，學(xué)生在此前已經(jīng)掌握了一次函數(shù)關(guān)系式、一次函數(shù)圖像的畫(huà)圖和圖像性質(zhì)，并能完成較簡(jiǎn)單的列函數(shù)關(guān)系式題目（題目中自變量與因變量的關(guān)系是單一的、顯性的），但在考慮自變量取值范圍中仍有遺漏現(xiàn)象.對(duì)于該題，學(xué)生一開(kāi)始會(huì)覺(jué)得無(wú)從下手，S跟x不是單一的、顯性的關(guān)系.而且點(diǎn)P不是定點(diǎn)，而是動(dòng)點(diǎn)，如何確定動(dòng)點(diǎn)的位置來(lái)畫(huà)圖分析，這個(gè)是尖子生都會(huì)不敢胡亂下筆作答的.在對(duì)于點(diǎn)P的敘述轉(zhuǎn)換上，大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過(guò)引導(dǎo)，是可以得出點(diǎn)P在直線y=10-x的，但是在作圖時(shí)，學(xué)生容易忽略（0，10）（10，0）這兩點(diǎn)的不可取.說(shuō)明學(xué)生在有實(shí)際背景的函數(shù)問(wèn)題上相對(duì)缺乏對(duì)自變量取值范圍的思考和自覺(jué)反思.

第四步，引導(dǎo)學(xué)生綜合考慮：P（x，y），且x+y=10，這樣的表達(dá)形式與我們學(xué)過(guò)的什么形式類似，能否轉(zhuǎn)換？（數(shù)學(xué)的化歸思想體現(xiàn)）得出點(diǎn)P在直線y=10-x上，我們只要畫(huà)出這條直線就能確定P的相應(yīng)位置，讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出點(diǎn)P所在的直線和確定點(diǎn)P的位置.這是算法策略的典型特征.（在這里安排糾錯(cuò)展示，P的位置不是一條直線，只是一條直線在第一象限的部分，還不包括與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn).）引導(dǎo)學(xué)生：既然點(diǎn)P就是在這上面運(yùn)動(dòng)的，那我們就“以靜制動(dòng)”，把它定下來(lái)研究.這樣就可以畫(huà)出三角形的形狀了.學(xué)生能口頭回答以那條為底邊，哪條為高進(jìn)行S的關(guān)系式的表達(dá).（高是什么？點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以就是縱坐標(biāo)）

第五步，總結(jié)，解題規(guī)律，從結(jié)論出發(fā)，考慮S的意義，需要確定三角形的底邊和高，需要畫(huà)圖，需要確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡——把已知條件的形式轉(zhuǎn)化為熟悉的一次函數(shù)形式后，以靜態(tài)特征研究動(dòng)態(tài)特征，去y留x，得出所求函數(shù)關(guān)系式.數(shù)學(xué)思想方法：化歸思想（把不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的，把題目的部分式子抽離題目背景出來(lái)進(jìn)行思考），數(shù)形結(jié)合思想（通過(guò)三角形圖像的確定知道高的表示，通過(guò)P的軌跡即一次函數(shù)圖像的分析得出自變量取值范圍）

第六步，變式，假如沒(méi)有了“第一象限”的已知條件，那整個(gè)題目的答案有無(wú)改變？這個(gè)函數(shù)就變成了分段函數(shù)：x=0，x<10，x>10三種情況，甚至可以提出那種情況下S的值.

參考文獻(xiàn)

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