數學廣角：學生體會和運用數學思想的支點

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出：通過義務教育階段的數學學習，“使學生理解和掌握基本數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗”。這里的數學思想，就是對數學知識和方法的本質及規律的理性認識，它是解決數學問題的靈魂和根本策略。

人教版教材從一年級下冊開始，每冊都安排一個“數學廣角”單元，這部分內容，為《義務教育數學課程標準（2011年版）》由雙基變四基起到了重要作用。目的就是滲透數學思想方法，滿足不同學生的思維發展需求，在探究過程中將數學思想內化成學生的學習需求，從而轉化為學生探究的方法。

那么怎樣才能更好地對這部分內容進行教學，使數學思想的滲透能更好地幫助學生理解尋求解決問題的方法呢？下面，我結合“植樹問題（兩端都栽）”一課，談談化歸思想的教學。

一、 滲透——鋪墊數學思想形成

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教師教學應該以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎。”因此，我們的教學設計也可以從學生最熟悉的東西入手，體現數學的應用性，使數學思想方法從課的伊始就開始滲透。

片段1：

師：兩棵小樹十個杈，不長葉子不開花，能寫會算還會畫，天天干活不說話。請你們猜一猜是什么。

生：手。

師：對了，我們每天都要用到手，那么，你對自己的手，了解嗎？（伸出兩個手指）請你觀察，發現了什么？

生1：我看到了兩個手指。

生2：我還發現兩個手指中間有1個空。

師：你們的觀察能力可真強。兩個手指間有1個空。（伸出3個手指）這回你又發現了什么？

…………

師：現在呀，請你自己數一數，快速告訴老師，5根手指有幾個空。

師：其實呀，生活中像這樣的例子還有很多，下面，我們就一起走進數學廣角來看一看吧！

這種激發學生興趣的導入，既是學生最熟悉的，也是學生信手拈來的。這里手指和“空”之間所蘊涵的就是間隔數與棵樹之間的關系。其實，這就是最簡單的“植樹問題”。從觀察到動手數，學生自然得出手指數總比手指縫數多1，為“復雜問題簡單化”作一些理解上的準備，潛移默化地起到了很好的鋪墊作用。

二、 運用——經歷問題解決過程

在教學過程中，我們教師要“處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流”。引導學生積極主動地運用數學思想去認識新知。

片段2：

出示例題：同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共需要多少棵樹苗？

師：你獲得了哪些數學信息？能解釋一下什么是“兩端都栽”嗎？

生：就是頭和尾都種。

師：那什么是“每隔5米”呢？

生：應該就是兩棵樹之間的距離是5米。

師：你說得真好。一般情況下，路邊植樹每兩棵之間的距離都相等，兩棵樹之間的距離叫做“間距”。這道題的間距是多少？

生：5米。

師：現在你能根據自己的理解說說你都獲得了哪些信息嗎？

…………

師：現在請同學們結合條件猜一猜，一共要多少棵樹苗呢？

生1：20棵。

生2：21棵。

生3：22棵。

師：你們的猜想好像都挺有道理，到底誰說的對呢？我們得要進行驗證。你想怎樣驗證呢？

生：老師，咱們可以畫一畫，數一數。

師：那我們一起畫圖，好嗎？請看屏幕。這就是那條長100米的小路，我們先在它的開頭這兒種一棵，然后每隔5米種一棵（4棵）大家看，已經種了幾米了？要種幾米？哦，就是照這樣一棵一棵地畫下去，我得一直畫到100米，你有什么感覺？

生1：老師，太麻煩了！

生2：這得種到什么時候呀！

師：是呀，那你們有沒有什么好辦法，可以把問題變得簡單些呢？

（學生獨立思考，然后組內交流。）

生1：老師，我覺得可以先畫畫20米要栽多少棵樹，找到規律后，我們就可以算出100米要栽多少棵樹了！

生2：還可以用10米來試一試。

生3：老師，我覺得用5米也行。

師：你們的想法真好，一下子呀，這么復雜的問題就變得簡單了，下面，就請同學們在你認為合適的短距離路上畫一畫，驗證你的猜想。

和學生共同分析完各數量后，請同學結合條件猜一猜，一共要栽多少棵樹苗。由于學生的思維角度不同，答案不一，為了更好地確定答案，教師提議和同學們一起來進行驗證。接下來，通過課件，一步一步地和學生一起“栽種”。學生很自然地會覺得照這樣畫100米實在是太麻煩了。這時，學生的認識水平和實際應用就發生了矛盾，這就是教育的最佳時機。學生依據課伊始的鋪墊，很自然地就采取不同的短距離進行探究。雖然所選的距離不同，但最終目的就是將大的數據轉化為方便我們進行驗證的數據，從而發現規律。這里，學生就主動地運用了“復雜問題簡單化”的數學思想。

三、 概括——理解數學思想精髓

化歸是基本而典型的數學思想。我們實施教學時，也經常用到它，包括化生為熟、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。在教學過程中，我們要及時對數學思想方法進行提煉、概括，幫助學生初步地學會數學的思維，引導學生用數學思想方法來解決問題。

片段3：

師：剛才，大家用不同數據對我們的猜想進行了驗證，得出了間隔數、棵數、總長、間距之間的規律。現在，我們一起來回憶一下，剛才雖然我們所有的數據不同，但是我們的方法有沒有什么相同的地方？

生1：老師，我們都把大數變成小數然后進行研究。

生2：都是把復雜的問題轉化成簡單的問題，再研究的。

師：對了，同學們，老師告訴大家，在數學上，遇到比較復雜的問題，我們可以從簡單的問題入手來研究。比如這道題中100米實在是太長了，我們可以先在短距離的路上種一種來驗證你的猜想，然后總結規律，最后再應用這個規律來解決問題。這種解決問題的方法就是化歸的思想方法。

本課的教學，并非只是讓學生會熟練解決與植樹問題相類似的實際問題，而是把解決植樹問題作為滲透數學思想方法的一個學習支點。我們的目的就是向學生滲透復雜問題從簡單入手的思想。而這一基本數學思想的學習，比我們總結出的“兩端都栽：棵數=間隔數+1”更加重要。我們的數學知識是數學思想教學的載體，我們的目的是通過這一過程，提高學生的思維能力。

四、 挖掘——進行知識有效遷移

《義務教育數學課程標準（2011年版）》倡導“人人學有用的數學”“不同的人在數學上得到不同的發展”。這里的“有用”“發展”更指讓人受用一生的數學思想。數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中。我們在運用和概括的基礎上，也要引導學生與日常生活再次聯系在一起，這樣，才會讓學生覺得我們的數學思想有“用武之地”。

片段4：

師：現在你能解決這個問題了嗎？（課件例1）100米是什么？5米？求？

（學生在練習本上計算。）

師：通過把復雜問題簡單化，我們發現了植樹問題的規律。生活中有這樣的例子嗎？

生1：聯歡會安拉花和氣球。

生2：冬天我們掃雪，每個班三棵樹，其實就是掃兩個間隔。

生3：還有坐車，公共汽車站……

有很多老師，把本節課的重點放在了抽取數學模型上。試想一下，我們的這一公式，許久之后，學生可能會遺忘。但是，“復雜問題簡單化”這種數學思想學生學會了，就可以通過簡單的推理得出來。而這一過程，才是數學的本質，也是學生真正受益終身的。

“植樹問題”在以前的教材中是沒有的，學生們在奧數課上才能接觸到。安排“植樹問題”的目的就是向學生滲透復雜問題從簡單入手的思想。通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發現一些規律，抽取出其中的數學模型，然后再用發現的規律來解決生活中的一些簡單實際的問題。

這里，學生經歷了比較、觀察、思考，就可以很自然地構建知識體系。通過以上教學，深化了學生對“化歸”思想的理解，拓展了數學思維，數學思想方法作為數學認知結構形成的核心起到了重要的組織作用。

有人說小學生學的數學初級，很簡單。盡管簡單，里面卻蘊涵了一些深刻的數學思想。我們要利用好數學廣角這塊“陣地”，做教學有心人，有意滲透，有意點撥，讓學生在學數學、做數學、用數學的過程中，感悟數學思想。同時也讓學生的數學思維能力得到切實、有效的發展。

（作者單位：哈爾濱市河松小學）

編輯/魏繼軍