極限概念教學的實踐與思考

【摘 要】極限理論部分是高等數學學習中的一大難點也是一個重點。學生在高中對極限概念不夠，在高等數學學習中會困惑，本文分析了學生的知識結構思維水平及極限概念教學中的難點分析。并提出應對措施，幫助學生順利適應高等數學特點，用運動的觀點分析極限現象，并使用數學語言準確描述。

【關鍵詞】高等數學 極限 運動 數學語言

高等數學是高校學生必修的一門重要基礎課，一方面由于微積分在眾多學科廣泛應用，學生對高數的掌握水平會對他們后繼課程的學習起到基礎作用，并且對他們在今后的工作以及知識更新將起到深遠的影響；另一方面，通過高等數學的學習對學生的邏輯思維能力，抽象思維，歸納演繹等科學思維方法和研究分析問題有清晰的思路，嚴謹的科學態度。然而極限工具是掌握高數的一把鑰匙。首先它是一個難點，這一部分不太容易經過一次思考就能一步到位，是需要學生多次思考不斷提高理解深度的重要概念；其次，它又是重點，貫穿高等數學的始終。極限理論是學生在高等數學中的第一個大的障礙。極限部分教學的成敗會嚴重影響到整個高等數學的教學效果。為了搞好這部分教學，有必要分析研究學生的知識能力思維水平現狀，分析查找學習中的困難所在，采取有效措施分解難點，讓學生理解概念，順利提高自己的思維水平。

一、學生學習現狀分析

（一）應該說學生對極限部分還是有一定基礎的

實行新課標之后，很多傳統上在高校數學課堂講解的內容也成了高中數學的重點，比如極限、導數、積分等。但是，由于應試教育背景下，學生可能會對有關運算熟悉，但對概念的理解卻深淺不一。

（二）初等數學與高等數學在思維方法、研究的內容的差異認識不夠

（三）倘若思維認識不到位，問題會可能想不清楚，沒有清晰地認知，就不會有直觀的理解，從而就更難用語言去描述極限概念了

種種問題往往交織在一起，造成學生對這一部分內容的復雜心態：一方面覺得這一部分已學過，覺得已經懂了，不屑于聽；另一方面接觸定義之后發現一無所知，顛覆對極限的所有認識，覺得難以理解。在高等數學的教學實踐中，往往會發現學生有上述兩種表現。因此引導學生端正態度，走出認識的誤區很重要。

二、學生學習困難所在

（一）需要清晰地認識到初等數學與高等數學的差異

初等數學和高等數學的主要區別之一就是把運動引入數學。初等數學主要研究靜態下量與量的數量關系，而高等數學主要研究在運動變化過程中量與量之間的數量關系。因此，學生應清楚明確的認識到這一點，并有意識地用“運動”的觀點考慮實際問題：對實際問題抽象成數學模型，并在運動變化過程中分析量與量之間的數量關系。

（二）思維方法需要轉變

在初等數學中常常對有限問題進行研究，在高等數學中會經常討論無限問題。所以學生應該在思維認識上必須有突破，從有限過渡到無限。

（三）要學會并習慣使用數學語言描述問題，讓自己的思維變得嚴密起來

三、教學中的應對措施

（一）通過有趣的例子提高學生認識，幫助學生以運動的觀點認識無限，提高思維水平

運動的觀點分析問題在中學階段學習函數時就已將開始了，笛卡爾坐標系建立之后，數學就引進了運動。這一點學生還是比較容易接受的。

對于無限的研究可以舉出大量鮮活的例子來強化學生的印象，啟發他們考試考慮無限的問題。比如：著名的芝諾悖論，阿基里斯（Achilles）追烏龜說：擅跑英雄阿基里斯追烏龜，永遠也追不上。因為當他追到烏龜的出發點時，烏龜已先前爬向了一段。他再追完這一段，烏龜又先前爬了一小段。重復這個論點，烏龜總在阿基里斯的前面。課堂上學生對此問題很感興趣，不管能否有合理的解釋，對問題的濃厚興趣引起對無限問題的思考就是一種思維訓練。

（二）通過實例說明極限概念的由來，揭開極限的神秘面紗

極限是一種思想方法，它與對無限問題的研究相伴，是在求某些實際問題的精確解時產生的。比如圓內接正多邊形的面積來可以近似圓的面積，當邊數不斷增大，正多邊形的面積越來越接近圓的面積，當邊數無限大的情況下就把圓的面積作為正多邊形面積的極限值。從而極限概念的產生就可以解決求圓的面積這一實際問題：轉化為求正多邊形面積序列隨邊增大的極限值。

（三）理清極限概念出現的內在邏輯過程，把握極限概念本質，并引導學生能數學語言描述。（以數列極限為例說明）

數學研究問題要從定性分析過渡到定量研究。對于數列極限概念，內在的思維過程是： 由于數列xn的值會隨n的變化而變化。我們自然想研究當時數列xn的變化趨勢。定性地說：當時數列xn與某一常數a無限接近。我們就稱常數a就是數列xn當時的極限值。引導學生如何用語言描述xn與某一常數a無限接近，即數xn數a的“距離”無限接近。啟發學生：在數學上如何表示數xn與數a的“距離”無限接近？讓學生自己得到極限的直觀就是在“條件”下，有結論“無限小”成立。

為了定量描述這一現象就得到極限的定義。引入可以任意小的正數，對于上述，一定存在自然數，當時總有成立。

啟發學生注意定量描述與定性描述的呼應：“ ，”描述“無限小”； “一定存在自然數，當”描述充分大。有了直觀形象和準確數學語言描述能力之后，學生對極限的認識就提高了。

總之，在應試教育的重壓下，學生有限的思維訓練被擠壓為做題機械訓練。學生的思維能力的提高還需要課堂上注重對學生思維的訓練，以及對重要概念來龍去脈的深刻理解。只有對極限的深刻理解之后，才能掌握開啟微積分大門的金鑰匙。

【參考文獻】

［1］ 李心燦.微積分的創立者及其先驅[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

［1］ 同濟大學應用數學系. 高等數學第六版[M]. 北京：高等教育出版社，2007.