“以學(xué)定教”的教學(xué)課例與評(píng)析

2012年4月，在我校 “以學(xué)定教”的主題研討的優(yōu)質(zhì)課展示與評(píng)比活動(dòng)中，筆者有幸以“直線與圓的位置關(guān)系”為課例，榮獲一等獎(jiǎng). 在備課伊始，如何將“以學(xué)定教”這個(gè)主題融入到教學(xué)環(huán)節(jié)，以及對本節(jié)課重、難點(diǎn)的把握和分解，成為了本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn).

一、生活情景鏈接原認(rèn)知

從唐朝詩人王維的名作《使至塞上》入手，選取了其中的兩句名句：“大漠孤煙直，長河落日圓”，讓學(xué)生把這兩句詩所描寫的景物直觀地畫出來，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)概念的角度出發(fā)去理解這兩幅圖，讓學(xué)生參照落日和地平線的位置把直線與圓的位置關(guān)系畫出來，從生活場景中引出直線與圓的3種位置關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的是要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，去了解世界，所以我設(shè)計(jì)了生活中的“日落”這個(gè)情景自然引入這個(gè)課題，讓學(xué)生從生活的場景抽象出直線與圓的3種位置關(guān)系.

二、比較抽象概括成定義

通過剛才的引例給出直線與圓的3種位置關(guān)系；

請你模擬日落過程中太陽和地平線的位置關(guān)系，并完成學(xué)案.

教師：這3幅圖你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？

學(xué)生1：直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 第一幅圖直線與圓沒有交點(diǎn)，第二幅有一個(gè)交點(diǎn)，第三幅有2個(gè)交點(diǎn).

教師：通過直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們可以把直線與圓的位置關(guān)系分為三類：有交點(diǎn)時(shí)，叫做相離；有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，叫做相切，這條直線叫做切線；有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，叫做相交，這條直線叫做割線.

出示練習(xí)：

教師：第五幅圖直線l和圓是什么位置關(guān)系呢？

學(xué)生反應(yīng)不一，有些回答相離，有些回答相切，有些回答相交.

教師：所以直觀地從直線和圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來辨別還不夠準(zhǔn)確，那我們有沒有更科學(xué)和準(zhǔn)確的方法來描述直線和圓的位置關(guān)系呢？

點(diǎn)評(píng)：這組題的設(shè)計(jì)既為了讓學(xué)生鞏固前面學(xué)習(xí)的三個(gè)定義，又讓學(xué)生感覺到僅僅只有定義并不能全面和科學(xué)地判斷直線與圓的位置關(guān)系，我們需要一種新的關(guān)系來刻畫這三種關(guān)系，引出數(shù)量關(guān)系來刻畫位置關(guān)系的必要性.

三、類比探索經(jīng)歷方法與過程

探討直線與圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；（類比：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.）

學(xué)生操作：已知點(diǎn)O和直線a，求作以點(diǎn)O為圓心，且與直線a相切的圓.

（讓學(xué)生通過作圖，進(jìn)一步理解直線與圓相切的概念，又啟發(fā)學(xué)生思考相切時(shí)要滿足的數(shù)量關(guān)系，為下面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化作了鋪墊. ）

學(xué)生2：過點(diǎn)O作直線a的垂線段OA，以點(diǎn)O為圓心，垂線段的長度為半徑作圓，這樣作的圓與直線a相切.

教師：那你能解釋一下為什么這樣做的圓一定與直線相切嗎？

學(xué)生2：不知道.

教師：那有沒有哪名同學(xué)能夠解釋一下？

學(xué)生3：因?yàn)槌它c(diǎn)A，直線上的其他點(diǎn)都在圓外，根據(jù)相切的定義，直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則可知直線與圓相切.

教師：那你能說說為什么除了點(diǎn)A，直線上其他點(diǎn)都在圓外嗎？

學(xué)生3：直線a上除點(diǎn)A外的其他點(diǎn)到圓心的距離d > r，點(diǎn)A到圓心的距離d = r，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，點(diǎn)A在圓上，直線a上的其他點(diǎn)在圓外，所以圓與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)相切的定義可知，直線a與圓相切.

教師：這名同學(xué)解釋得非常到位和全面，要證明相切，現(xiàn)在我們有哪些方法？

學(xué)生4：只有相切的定義，直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn).

教師：那如何證明直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)？

學(xué)生4：根據(jù)垂線段最短.

教師：那你們能不能得到另外兩種位置關(guān)系的數(shù)量關(guān)系？

幾何畫板上操作拖動(dòng)圓，得到相交和相離時(shí)點(diǎn)到直線的距離的關(guān)系，然后總結(jié)三種位置關(guān)系分別對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：直線與圓的數(shù)量關(guān)系對學(xué)生來說還是比較抽象的，為了解決這個(gè)問題，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題：一是如何畫圓與直線相切；二是為什么這么畫的圓就與直線相切；這兩個(gè)問題的提出既讓學(xué)生又一次經(jīng)歷了直線與圓相切的產(chǎn)生過程，又讓學(xué)生更加深入地理解了相切的定義.

四、分層變式，以達(dá)活用

1. 已知圓的直徑為13 cm，設(shè)直線和圓心的距離為d：

（1）若d = 4.5 cm ，則直線與圓 ， 直線與圓有 個(gè)公共點(diǎn).

（2）若d = 6.5 cm ，則直線與圓 ， 直線與圓有 個(gè)公共點(diǎn).

（3）若d = 8 cm ，則直線與圓 ， 直線與圓有 個(gè)公共點(diǎn).

這組題已知數(shù)量關(guān)系，要學(xué)生轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系，是兩種關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的簡單應(yīng)用.

2. 如圖，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 5 cm，AC = 3 cm. （1）以C為圓心的圓與AB所在的直線相切，則這個(gè)圓的半徑是 cm.

（2）當(dāng)r滿足 時(shí)， 線段AB與⊙C只有一個(gè)公共點(diǎn).

這組題第一小題學(xué)生解答問題不大，但在解決第二小題時(shí)碰到了較大困難，于是老師提出了一個(gè)過渡性的問題.

教師：第二小題和第一小題有什么聯(lián)系和區(qū)別？

學(xué)生5觀察題目后：第一小題是與直線AB相切，而第二小題是線段與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生能很快地畫出簡單的示意圖，如何將實(shí)際背景與今天所學(xué)的知識(shí)背景相聯(lián)系成為解決這個(gè)問題的一個(gè)難點(diǎn).

教后反思

當(dāng)前大多數(shù)的教學(xué)是“重結(jié)果，輕過程”， 把形成結(jié)論的生動(dòng)過程變成了刻板的條文背誦（或機(jī)械模仿），它從源頭上剝離了知識(shí)與智力的內(nèi)在聯(lián)系；在教師的影響下，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念只能是死記硬背，使得大量的結(jié)果性知識(shí)充斥學(xué)生大腦，而對學(xué)生智力開發(fā)、探究能力培養(yǎng)有益的大量的過程性知識(shí)被無情地摒棄了，這樣就失去了研究數(shù)學(xué)知識(shí)“生成過程”的體驗(yàn)，自然也就失去了培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)知識(shí)生成的最佳契機(jī). 因此，我們要改變教與學(xué)的方式，變“被動(dòng)學(xué)”為“主動(dòng)學(xué)”，還原學(xué)生的課堂主導(dǎo)地位，真正讓課堂成為學(xué)生“學(xué)”的舞臺(tái)！