基于問題驅動的“三線八角”教學設計及啟示

數學課堂中的“問題驅動”是指用數學問題驅動學生參與到數學課堂學習活動中來，驅動學生深入思考，理解數學的本質. “問題驅動教學”是指教師通過設計一系列環環相扣的數學問題來驅動數學課堂教學，讓學生在好奇心的驅使下逐步逼近所教主題的數學本質.正如張奠宙先生所說：“問題驅動的本質是暴露數學的本質”.在數學問題驅動教學中，學生通過一個個數學問題的提出和解決，經歷細致地觀察、主動地探索、及時地歸納和不斷地反思等一系列數學活動，從中體驗數學方法和數學思想的魅力，學會數學的思維、數學的交流、數學的推理和運用數學的解決問題，進而激發學習數學的興趣，形成良好的數學素養.

一、基于問題驅動的“三線八角”的教學過程（略去了其詳細的教學過程）

師：先請同學們回顧一下角的概念.

問題1：對頂角、鄰補角是怎樣形成的？我們是怎樣研究它們的性質的？

生：角的定義1：有公共頂點的兩條射線組成的圖形叫做角；角的定義2：一條射線OA由原來位置繞著它的端點O旋轉到另一個位置OB所成的圖形.

一條直線與另一條直線相交得到四個角.通過分類、歸納（每類角的特征）得到鄰補角、對頂角的概念.又通過度量——猜想——證明得到定理：對頂角相等.

設計意圖：強調從結構特征、討論問題的思想方法等角度，對已有知識進行復習回顧，為新知識的學習提供借鑒.

師：兩條直線相交形成四個角，它們的關系（性質）已經清楚（特例是垂直）.

問題2：接下來，你打算研究什么？怎樣去研究？

生：接下來研究三條直線的位置關系，也就是一條直線與兩條直線相交的情形，也用分類、歸納的方法來研究他們所構成的角.

師：好！就照你的辦！

問題3：請你們畫出一條直線與兩條直線分別相交的圖形（三條直線不相交于同一點）.并請思考：圖中共得到幾個角？你能將這些角分分類嗎？

生：（學生在黑板畫出下面圖1、圖2圖形）一條直線與兩條直線分別相交構成八個角，可根據共頂點和不共頂點分為兩類.

師：對. 一條直線與兩條直線分別相交構成的八個角，我們把它簡稱為“三線八角”，這就是我們這節課要研究的課題.請問你是怎樣想到按共頂點和不共頂點分類的.

生：一條直線與兩條直線分別相交得到的幾何圖形，可以看成由兩個兩條直線相交的圖形構成，由畫出的圖形知：兩條直線相交構成共頂點的角，另一類就是不共頂點的角.

設計意圖：培養學生畫圖的習慣，分析出需要研究的新問題，引導學生學習根據一定標準分類的研究方法.展示圖2（其中AB∥CD），為學生研究平行線的性質和判定作鋪墊.

師：很好！化歸為已學過的問題，其學習方法值得其他同學借鑒.對于共頂點的角我們已經進行了研究，下面我們來研究不共頂點的角.

問題4：如圖1，請同學們細心觀察，∠1與∠5、∠6、∠7、∠8的位置，它們有著怎樣共同的特征？并驗證∠2與∠5、∠6、∠7、∠8的位置，∠3與∠5、∠6、∠7、∠8的位置，∠4與∠5、∠6、∠7、∠8的位置是否也符合這個特征.

生：不共頂點的角的特征是：它們有一條邊都在直線EF上.角的頂點也都在直線EF上.

師：很好！看來直線EF很關鍵，因為它是關鍵直線，所以我們給它一個特殊的名稱，叫做“第三條直線”或“截線”.如圖1中的三條直線的位置關系可這樣敘述：兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截，或者說直線AB，CD與EF相交.事實上只要抓住了第三條直線，那么這些角的關系也就抓住了.

設計意圖：讓學生抓住關鍵的直線：“第三條直線”.事實上，只要抓住“第三條直線”，那么同位角、內錯角、同旁內角的尋找也就比較容易了.

問題5：你能說出∠1與∠5的位置特征？

生1：角的頂點都在直線EF上，∠1與∠5分別有一條邊在直線EF上，且方向相同，它們另一條邊都在直線EF同側.

生2：∠1與∠5分別在直線AB，CD的同一方向（上方），并且都在截線EF的同側（右側）或同旁.

師：講得好！一個是從局部（角的頂點、角的邊）考察，一個是從整體觀察來說出它們的位置關系. 同一方（上方）、同側（右側）反映了∠1與∠5的位置關系.我們把具有這種位置關系的角叫做同位角.

問題6：與∠1、∠5具有相同位置關系的角還有哪幾對？

生：∠4與∠8，∠2與∠6，∠3與∠7.

問題7：類比∠1與∠5的方法，請同學們繼續研究∠1與∠7，∠1與∠8.

生：（先獨立思考，再合作交流）

∠1與∠7分別都在直線AB，CD之間，并且分別在直線EF兩側，具有這種位置關系的一對角叫做內錯角.

∠1與∠8都在直線AB，CD之間，并且在直線EF一旁，具有這種位置關系的一對角叫做同旁內角.

師：請同學們根據圖1，找出所有的內錯角、同旁內角.

生：內錯角：∠1與∠7，∠2與∠8.

同旁內角：∠1與∠8，∠2與∠7.

問題8：你能歸納找同位角、內錯角、同旁內角的方法嗎？

生：第一步：先確定“第三條直線”； 第二步：觀察同旁或不同旁，同向或不同向來確定.

設計意圖：通過對問題7和問題8的解決，讓學生感悟有關的數學思想方法，并逐步內化為經驗.

問題9：如圖3，∠1和∠2是不是同位角.如果是，找出是哪兩條直線被哪條直線所截形成的，如果不是，請說明理由.

設計意圖：學生通過問題9中正反例的辨別，豐富和凈化同位角的概念.

問題10：將圖1中直線AB，CD延長交于一點G，得到圖4，設∠AGC = ∠9.

① 直線AG，EF被直線CG所截，∠9與∠4是 角.

② ∠9與∠5是直線____被直線_____所截形成的______角.

問題11：將圖4中的直線AG，CG分別延長得到圖5，請問圖中共有幾對同旁內角.

問題12：如圖6，直線DE，BC被AB所截，① ∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？② 如果∠1 = ∠4，那么∠1和∠2相等嗎？∠1和∠3互補嗎？為什么？

問題13：這節課的知識是怎樣學習的？其研究知識的數學方法有哪些？回顧“兩條相交直線”的學習，它們有什么共同的學習規律.

設計意圖：設計問題13引導學生反思，讓學生將本節課的內容與前面學習的知識相聯系，進行一次整體的貫通的“感悟”.需要指出的是，空泛的“你學到什么？你有什么體會”，效果是不會很明顯.

二、問題驅動教學策略對數學教學的啟示

1. 注重驅動問題設計的探究性

在課堂教學中，往往會看到老師的提問或問題始終處于同一個層次或水平，實際上是知識或技能的再現水平，忽視了數學思想方法的升華，忽視了思考力的培養.這樣的教學，學生只獲得了知識、技能、技巧，只能解決一個個孤立的問題，而不能獲得一般的思想方法與策略，數學思維能力得不到提高.在進行問題驅動教學時，教師要注意問題設計的探究性，不斷深化學生的思維層次，提高學生的思維能力.

設計具有探究性的驅動問題的常用手段是通過設計“元認知問題”來啟發學生.所謂“元認知問題”是指問題提得比較開放，發散范圍比較大，可供學生發揮想象力的空間比較大，問題里面既包含“有什么的關系”這種結論性的懸念，又蘊藏著“怎樣去思考”這種策略和方法性的暗示.事實上，在探究教學中，啟發的過程實質上是“由遠及近”從運用較多元認知成分的問題到較小元認知成分的問題直到運用認知性問題為止的一個連續不斷的發問的過程.例如，“三線八角”教學中，從問題2至問題7的驅動問題就是從運用較多元認知成分的問題到較小元認知成分的問題的提問的過程，通過驅動問題引導學生探究，豐富了“三線八角”概念的表象，真正理解了“三線八角”的概念，并領悟概念背后隱含的數學思想方法和數學的研究方法，進而學會學習.

2. 注重驅動問題設計的系統性

在一節課的教學中，設計驅動問題進行一兩次提問，每個教師都能做到.教師、學生在課堂上都會提出一兩個精彩的問題，但對于問題驅動教學來說，是遠遠不夠的，因為缺乏整體性的問題設計，學生獲得的只是對于解決具體問題的方法或技巧，思維不能得到最有效地發展，升華不出一般的方法和思想.因此，在問題驅動教學中，必須注意驅動問題設計的整體性.教師要根據教學目標把教學內容設計成一組組、一個個彼此關聯的驅動問題.例如，在“三線八角”教學的驅動問題設計中，在新舊知識的聯系點處設計問題1至問題3，引導學生關注新舊知識的內在聯系，讓學生在舊有知識的啟發下，獲得研究新知識的方法.在新知識的建構階段，設計問題4至問題8，讓學生通過自主探究獲得新知識，并在獲得新知識的過程中提升能力.在知識的應用階段，設計問題9至問題12，由概念辨析題到例題及其變式題，讓學生的思維由淺入深，提高分析問題、解決問題的能力.綜觀本節課的教學過程，其設計的驅動問題是一個整體貫通、互相聯系的問題構成的問題串，通過這些問題，引發學生不斷反思、感悟.從而形成思維的整體貫通、提升.

3. 注意在重點、難點、關鍵點和深化點等處設計驅動問題

教學內容能否成功地傳授給學生，很大程度上取決于教師對教學重點、難點、關鍵點的把握.數學教材中有些重點和難點枯燥乏味，如果純粹地由教師講解，學生可能很難理解或只是一知半解. 如果教師在教學時設置恰當的驅動問題，讓學生設身處地投入到問題的活動操作中，不僅解決了問題，同時也提高了學生的思維，能起到事半功倍之效.由于教師注意在知識的混淆點、關節點、聯系點、發散點等處設計驅動問題，驅動問題的設計又注意探究性和系統性，因此，學生能在好奇心的驅使下理解數學的本質，形成解決問題的一些基本策略，提高了數學能力.

【參考文獻】

[1]張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究，2004（3）：8-10，（5）：45-48.