“平方差公式的概念”教學(xué)案例及評(píng)析

【摘 要】 初中數(shù)學(xué)課的教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用“創(chuàng)設(shè)問題情境、建立知識(shí)的模型”的模式展開. 特別對(duì)于抽象的概念教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程，幫助學(xué)生克服記憶概念的學(xué)習(xí)方式. 本文以“平方差公式的概念”為例，闡述如何“創(chuàng)設(shè)問題情境、建立知識(shí)的模型”的過程.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；教學(xué)案例；過程；評(píng)析

一、教學(xué)過程

師：我們已經(jīng)學(xué)過了多項(xiàng)式的乘法，哪個(gè)小組能告訴我，“兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，在合并同類項(xiàng)之前應(yīng)該有幾項(xiàng)？”

生A（搶答）：我認(rèn)為應(yīng)該有四項(xiàng).

師：我也同意A同學(xué)的說法（教師給這個(gè)小組加上一顆五角星）.

但不知同學(xué)們有沒有注意到我剛才說的是合并同類項(xiàng)之前，那么在合并同類項(xiàng)之后會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

（教師多媒體給出問題串：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，在沒有合并同類項(xiàng)之后，有沒有只有三項(xiàng)的？有沒有只有兩項(xiàng)的？舉例說明. 獨(dú)立完成后，今天的小組長(zhǎng)組織小組成員交流，記錄員把各成員的結(jié)果以自己的方式記在記錄本上）

……

師：哪個(gè)組來回答？（話一說完就有很多組的同學(xué)站了起來，最后決定用剪刀石頭布的方式來確定哪個(gè)組來回答）

生B：我回答第一個(gè)問題，我組分別寫出了以下四種情況.（通過實(shí)物投影展示，接著又有幾個(gè)組的同學(xué)把結(jié)果通過實(shí)物投影儀展示出來，教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行及時(shí)有效的評(píng)價(jià)，并對(duì)相應(yīng)的組打上星）

生C：我回答第二個(gè)問題，我們組寫出了以下四種情況：

1. （x + 1）（x - 1） = x2 - x + x - 1 = x2 - 1；

2. （x + 2）（x - 2） = x2 - 2x + 2x - 4 = x2 - 4；

3. （x + y）（x - y） = x2 - xy + xy - y2 = x2 - y2；

4. （x - 3）（x + 3） = x2 + 3x - 3x - 9 = x2 - 9.

（通過實(shí)物投影展示，接著又有幾個(gè)組的同學(xué)把結(jié)果通過實(shí)物投影儀展示出來，教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行及時(shí)有效的評(píng)價(jià)，并對(duì)相應(yīng)的組打上星）

……

師：從上面的例子可以看出兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，合并同類項(xiàng)后積可以是二項(xiàng)式，那么具備什么樣的特征時(shí)積才會(huì)是二項(xiàng)式呢？它們的積有什么特征？（媒體給出問題串，要求學(xué)生獨(dú)立完成后，小組長(zhǎng)組織小組成員交流，記錄員把各成員的結(jié)果以自己的方式記在記錄本上）

……

生D：我們組交流后，認(rèn)為兩個(gè)因式的兩項(xiàng)中分別有一項(xiàng)相同，而另一項(xiàng)互為相反數(shù)，積一定是二項(xiàng)式.

生E：我們組交流后認(rèn)為，當(dāng)乘式是兩個(gè)數(shù)之和以及這兩數(shù)之差相乘時(shí)積一定是二項(xiàng)式.

師：我也同意他們的意見. 他們從不同的角度分析了乘式的特征，用兩數(shù)和及這兩數(shù)的差表達(dá)乘式的特征既簡(jiǎn)單又確切（教師給這兩組打上星）. 那么它們的積有什么特征呢？

生G：積等于乘式中這兩數(shù)的平方差.

師：我也同意他們的意見. 這組同學(xué)特別是用了“這兩個(gè)數(shù)”四個(gè)字實(shí)在是太好了，說明他觀察得很仔細(xì)，表達(dá)也很貼切（教師給這組打上一顆星）.

師：我們?cè)倏匆幌拢瑸槭裁淳邆湟陨咸攸c(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積會(huì)是兩項(xiàng)呢？

生F：具備這樣特點(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘時(shí)，積的四項(xiàng)中會(huì)出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項(xiàng)，而這兩項(xiàng)合并后為零，所以就剩下兩項(xiàng)了.

師：很好，假如我們用a，b來表示這兩個(gè)數(shù)，你能用這兩個(gè)字母表達(dá)出剛才我們所說的等式嗎？

生H：（a - b）（a + b） = a2 - b2.

師：非常好，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平方差公式.

師：你們能算出下面兩圖中第Ⅰ塊和第Ⅲ塊的面積之和嗎？（幾何畫板給出）

二、案例評(píng)析

1. 設(shè)置疑問，引入課題

魯賓斯坦說過，思維通常總是開始于疑問或者問題，開始于驚奇或者疑惑，開始于矛盾. 適當(dāng)?shù)膽夷?，巧布某種卡殼，引起學(xué)生的好奇，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)機(jī)，而學(xué)習(xí)興趣能使學(xué)生的主動(dòng)性積極性劇增，產(chǎn)生良好的效果. 本案例將“兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積可能有幾項(xiàng)”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2. 突出了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探索性

通過學(xué)生自己的試算、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，得出為什么有的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘其積為兩項(xiàng)，因?yàn)槠渲袃身?xiàng)是兩個(gè)數(shù)的平方差，而另兩項(xiàng)恰是相反數(shù)，合并同類項(xiàng)時(shí)為零. 讓學(xué)生經(jīng)歷前人發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念的“濃縮”過程，讓學(xué)生嘗到了成功的喜悅，激發(fā)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)思維的火花. 從而培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、概括能力，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力；

3. 引進(jìn)了計(jì)算機(jī)（“幾何畫板”）技術(shù)

通過拼圖游戲給出平方差公式的一個(gè)幾何解釋，目的是使學(xué)生對(duì)此公式有一個(gè)更直觀的認(rèn)識(shí).

4. 恰當(dāng)?shù)靥幚碜灾?、探究、合作的關(guān)系

自主探究合作學(xué)習(xí)是新課程改革中追求的一種學(xué)習(xí)方法，但合作學(xué)習(xí)必須建立在學(xué)生的獨(dú)立探索的基礎(chǔ)上，否則合作學(xué)習(xí)將會(huì)流于形式，不能起到應(yīng)有的效果，所以我在上課時(shí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生先獨(dú)立思考，再由當(dāng)天的小組長(zhǎng)組織進(jìn)行，并由當(dāng)天的記錄員記錄小組成員的活動(dòng)情況.

5. 把競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制引入課堂，同時(shí)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)卦u(píng)價(jià)

讓學(xué)生在合作中學(xué)習(xí)，在競(jìng)爭(zhēng)中收獲，及時(shí)對(duì)各小組的發(fā)言進(jìn)行恰當(dāng)?shù)卦u(píng)價(jià)，能調(diào)節(jié)課堂的氣氛，同時(shí)也是時(shí)代對(duì)我們的要求.

6. 充分發(fā)揮課堂教學(xué)的民主

在課堂教學(xué)中多次用到“你們同意嗎？”、“我同意”的話語，讓學(xué)生體驗(yàn)到他們才是學(xué)習(xí)的主人，教師是他們平等的合作者.