分類討論的數學思想在課堂上的滲透

分類討論是求解數學問題的重要方法. 在解題時，利用分類討論思想可以把一個復雜的問題分為有限個子問題，只要逐一解決每一個子問題，整個問題即獲解決. 學習和掌握這一思想方法，對于培養學生全面、縝密的思維能力和分析解決實際問題的能力有非常重要的作用.

分類討論必須要遵循一定的原則，才能使分類更加科學、嚴謹，從而正確、合理地解題. 分類討論的原則有同一性原則、互斥性原則和層次性原則.

分類討論思想也是中學必須掌握的數學思想之一. 對于剛剛進入初中的孩子們，接觸分類討論思想并不是很多，而且這個年齡段是由形象思維向抽象邏輯思維過渡的轉折期，他們的學習還是以間接性經驗為主. 他們對數學思想的理解不可能主動的形成，而且也不是特別深刻. 所以在引入分類討論思想時，必須借助一定的材料，循序漸進地引導學生慢慢領悟. 在這種條件下，我將教學難度設立在學生能理解分類討論的重要特點：不重不漏.

我在教學初一“三角形按邊分類”這節課時，就嘗試對學生進行分類討論的數學思想的滲透，收到了非常好的效果. 以下是教學片斷：

……

師：我們小學就知道三角形可以按邊分類，按角分類. 同學們還記得按邊是怎么分類的嗎？

生：等腰三角形和不等腰三角形. 等腰三角形還包括等邊三角形.

師：這么麻煩啊. 不如直接將三角形分為等邊三角形，等腰三角形和不等腰三角形，行不行啊？（本班學生思維活躍，敢于質疑. ）

生：不行.

師：為什么不行啊？

生：這樣任何一個等邊三角形就既屬于等邊三角形，又屬于等腰三角形了.

師：那又怎么樣？不行嗎？

生：老師，那就重復了.

師：他說那就重復了，誰來幫他解釋一下什么叫重復了？（帶動更多學生來參與課堂教學，尤其是數學成績不是特別好的學生）

生：（思考）

師：（提示）或者說什么重復了？是三角形重復了？還是等邊三角形和等腰三角形重復了？

生：等邊三角形和等腰三角形重復了.

師：那就是說，在我們給三角形分類時，每一類都必須是不重復的（對以上的討論進行總結）. 比如說：把我們班同學分成男生，女生和15歲以下的同學，行不行？（舉出顯而易見的例子，幫助學生理解. ）

生：不行.

師：為什么？

生：這樣分類的話，就重復了. 一名同學可能既屬于女生，又屬于15以下的同學.

生A：老師，可不可以這樣分類？（突然殺出個“程咬金”. ）師：怎么分類？你說說看.

生A：把我們班的同學分為語文好，數學好和英語好的？

（學生立馬炸開了鍋. ）

生：不行，重復了.

生：還有哪一門都不好的.

師：是啊，而且什么叫語文好的？

生A：（看了一會）期末考試時哪一門分數最高就算是哪一門好.

師：同學們想想看，這樣分類有什么問題嗎？

生：如果有名同學有兩門分數是一樣的怎么辦？

師：是啊，比如數學和語文分數一樣，那到底是歸為數學好那一類還是歸為語文好那一類呢？

生A：都歸.

生：那就重復了.

生A：都不歸.

師：那這名同學就沒地方去了，這樣分類就不完整了. 你提出的這個問題很好，不光明確了分類的不重復原則，而且啟發我們分類不能遺漏. 我們再舉個例子：在討論x的時候，我只把x的范圍分為大于0和小于0這兩類，行不行？

生：不行，這樣就漏掉了等于0.

師：對，所以我們在分類時，還有一個重要原則，那就是不遺漏. 好，回到我們對三角形按邊分類的問題上，我們怎么保證分類時既不重復又不遺漏呢？

生B：按照一定的標準去分類. 比如在這個分類中，就是按照三角形三條邊的等量關系來分的.

師：對，你先坐下來，換名同學. 你能具體說說是什么等量關系嗎？（這個問題是在小學就熟記的知識，同學們基本都可以回答. ）

生C：三條邊都不相等的是不等邊三角形、兩條邊相等和三條邊都相等的是等腰三角形.

生D：等腰三角形就是至少有兩條邊相等的三角形.

生：任何兩條邊都不相等的是不等腰三角形，至少有兩條邊相等的是等腰三角形. 若三條邊都相等就是特殊的等腰三角形——等邊三角形.

師：對，同學們思考問題非常嚴謹. 我們按照一定的標準來分類就能保證不重不漏.

……

課后總結：

由于加入了分類討論的數學思想，使得原本老生常談的一節課變得特別的充實. 這節課中對學生循序漸進的引導提高了學生學習數學的興趣，鍛煉了學生的邏輯思維能力. 由于有了這樣的鋪墊，學生在學習之后的三角形三條邊之間的關系時明顯思維有條理多了. 如果我們經常用各種方式強化學生的理解，我相信學生肯定能慢慢形成清晰嚴密的思考習慣.

數學思想的學習是一個漫長的過程，必須一點一滴地滲透，慢慢地引導，切忌急功近利，避免“填鴨式”教學.