“收尾速度”問題歸類分析

【內容摘要】收尾速度是指物體在多個力的作用下所能達到的最終速度，具有收尾的物體一般處于平衡態。因此我們只抓住物體的運動特征，合理的利用平衡條件，就可求解此類問題。收發問題也是高考常見的考題之一，而且收發問題包含的問題種類較多，本文例析了幾種常用情況，并得到了較好的解決。

【關鍵詞】收尾速度 傳送帶 機車啟動 洛化茲力 電磁感應

“收尾速度”問題是高中物理中常見的問題，收尾速度是指物體在多個力的作用下所能達到的最終速度，具有收尾的物體一般處于平衡態，因此我們只抓住物體的運動特征，合理的利用平衡條件，就可求解此類問題。本文列舉了高中物理中常見的幾種“收尾速度”問題，以供參考。

一、傳送帶上的收尾速度

傳送帶問題是一直是考試的熱點問題，高考中也多次出現。放到傳送帶上的物體通過物體與傳送帶間的相互作用最終達到與傳送帶相同的速度，這就是物體的收發速度。

【例1】如圖1所示，皮帶始終保持v=3m/s的速度順時針運轉，一個質量為m=1.0kg，初速度為零的小物體放在傳送帶的左端，若物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.15，傳送帶左右兩端的距離s=4.5m。求物體從左端運動到右端的時間。（g=10m/s2）

分析：開始時物體做初速度為零的加速度運動，設物體速度達到v=3m/s，經過的位移為s1，時間為t1

代入數據解得s1=3m<4.5m，t1=2s

因此2s后物體與傳送帶一起勻速直線運動，歷經時間為t2

二、空中下落物體的收尾速度

由于受空氣阻力的作用，物體在空中的下落并不是做自由落體運動。空氣阻力與物體的速度有關，速度越大，阻力越大，最終阻力與物體所受的重力相等，物體勻速下落，此時的速度為物體的收尾速度。

【例2】當物體從高空下落時，所受阻力會隨物體的速度增大而增大，因此經過下落一段距離后將勻速下落，這個速度稱為此物體下落的收尾速度。研究發現，在相同環境條件下，球形物體的收尾速度僅與球的半徑和質量有關。下表是某次研究的實驗數據：

（1）根據表中的數據，求出B球與C球在達到終極速度時所受阻力之比；

（2）根據表中的數據，歸納出球型物體所受阻力f與球的速度大小及球的半徑的關系（寫出有關表達式、并求出比例系數）；

（3）現將C號和D號小球用輕質細線連接，若它們在下落時所受阻力與單獨下落時的規律相同。讓它們同時從足夠高的同一高度下落，試求出它們的收尾速度；并判斷它們落地的順序（不需要寫出判斷理由）。

分析：（1）球在達到終極速度時為平衡狀態，有f=mg

則fB：fC=mB：mC代入數據得fB：fC=1：9

（2）由表中A、B球的有關數據可得，阻力與速度成正比；即

由表中B、C球有關數據可得，阻力與球的半徑的平方成正比，即

設_________________，代入數據可得：

（3）將C號和D號小球用細線連接后，其收尾速度應滿足mCg+mDg=fC+fD

即mCg+mDg=kv（rC2+rD2）代入數據得v=27.2m/s

比較C號和D號小球的質量和半徑，可判斷C球先落地。

三、機車啟動后的收尾速度

機車啟動的最大功率不能超過額定功率，隨著機車速度的不斷增加，牽引力逐漸減小，當牽引力等于機車所受的阻力時，機車將做勻速運動，此時的速度就是收尾速度，其大小_________________。

【例3】在一次抗洪搶險活動中，解放軍某部隊用直升飛機搶救一重要落水物體，靜止在空中的直升飛機上的電動機通過懸繩將物體從離飛機90m處的洪水中吊到機艙里。已知物體的質量為80kg，吊繩的拉力不能超過1200N，電動機的最大輸出功率為12kW，為盡快把物體安全救起，操作人員采取的辦法是，先讓吊繩以最大拉力工作一段時間，而后電動機又以最大功率工作，當物體到達機艙前已達到最大速度。（g取10m/s2）求：

（1）落水物體運動的最大速度；

（2）這一過程所用的時間。

分析：（1）先讓吊繩以最大拉力FTm=1200N工作時，物體上升的加速度為a，由牛頓第二定律[1]有：

代入數據得a=5m/s2

當吊繩拉力功率達到電動機最大功率Pm=12kW時，物體速度為υ，由Pm=Tmυ，得υ=10m/s。

物體這段勻加速運動時間t1= =

2s，位移s1=1/2at12=10m。

此后功率不變，當吊繩拉力FT= mg時，物體達最大速度：

（2）這段以恒定功率提升物體的時間設為t2，由功能定理有：

代入數據得t2=5.75s，故物體上升的總時間為t=t1+t2=7.75s。

四、洛侖茲力作用下的收尾速度

帶電粒子在磁場中運動時受到洛侖茲力的作用，洛侖茲力[2]與粒子的速度有關，加速運動的粒子的洛侖茲力也不斷增加，直到達到平衡態，此時的速度為收尾速度。

【例4】如圖2所示，在空間存在著水平向右、場強為E的勻強電場，同時存在著豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場。在這個電場、磁場共同存在的區域內有一個質量為m，帶電量為+q的金屬環。已知金屬環與絕緣桿間的動摩擦因數為_________________，且_________________，現將金屬環由靜止釋放，設在運動過程中金屬環所帶電量不變。試求金屬環運動的最大速度。

分析：金屬環在電場力和摩擦力的共同作用下由靜止開始做加速運動，隨著速度的增大，金屬環受到的洛侖茲力逐漸增大，桿對環的彈力也逐漸增大，滑動摩擦力也逐漸增大，當滑動摩擦力等于電場力時，金屬環將做勻速運動，此時的速度為最大速度，也是金屬環的收尾速度，設大小為Vm。

金屬環受洛侖茲力_________________，方向垂直紙面向外。

桿對金屬環的彈力為：

金屬環水平方向平衡，由平衡條件可得：

解得：

五、電磁感應中導體棒的收尾速度

導體在磁場做切割磁感線運動時，回路中會產生感應電流，導體棒會受到安培力的作用，導體的速度越大，感應電流就越大，安培力也越大，導體最終達到一種平衡狀態。求解電磁感應中的平衡問題通常有兩種方法：受力平衡法和能量法。

【例5】如圖3所示，兩根相距l平行放置的光滑導電軌道，與水平面傾角均為α軌道間有電阻R，處于磁感應強度為B方向豎直向上的勻強磁場中，一根質量為m、電阻為 的金屬桿ab，由靜止開始沿導電軌道下滑。設下滑中ab桿始終與軌道保持垂直，且接觸良好，導電軌道有足夠的長度，且電阻不計，求ab桿沿軌道下滑可達到的最終速度。

分析：方法一（平衡法）：當ab 桿沿軌道加速下滑至速度υ時，ab桿上的電動勢為

則ab桿與導電軌道組成的回路中的電流為I=

而ab桿受到的安培力為

F=BIl= 方向水平向右。

當ab桿的速度增大至某一值υm時，ab桿受到的合外力F合恰減為零，此時ab桿的加速度a也減為零，之后ab桿保持速度υm沿軌道勻速下滑。速度υm即是ab桿沿軌道下滑可達到的最終速度。

據共點合力平衡條件，有：

解得：

【例6】如圖4所示，水平固定的光滑U形金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器（金屬框架、金屬棒及導線的電阻勻可忽略不計），整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為B現給棒ab一個初速度υ0，使棒始終垂直框架并沿框架運動。求金屬棒從開始運動到達到穩定狀態時電容器的帶電量和電容器所儲存的能量（不計電路向外界輻射的能量）。

分析：當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產生感應電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩定速度v勻速運動時，有：

而對導體棒ab利用動量定理可得：

由上述二式可求得：

六、分解物體運動的收尾速度

以上幾種情況是幾種常見的有關收尾速度問題，而有些綜合性較強的問題往往以上的兩種情況結合起來，如：水平和豎直方向的速度都達到穩定的速度，而兩個方向的合速度就是物體的收尾速度。

【例7】在廣場游玩時，一個小孩將一個充有氫氣的氣球用細繩系于一個小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上。已知小石塊的質量為m1，氣球（含球內氫氣）的質量為m2，氣球體積為V，空氣密度為ρ（V和ρ均視作不變量），風沿水平方向吹，風速為υ。已知空氣對氣球的作用力Ff=kυ（式中k為一已知系數，υ為氣球相對空氣的速度）。開始時，小石塊靜止在地面上，如圖5所示。

（1）若風速υ在逐漸增大，小孩擔心氣球會連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會出現這一情況，并說明理由；

（2）若細繩突然斷開，已知氣球飛上天空后，在氣球所經過的空間中的風速υ為不變量，求氣球能達到的最大速度的大小。

分析：（1）小石塊不會被風吹離地面。以氣球和小石塊組成的系統為研究對象：地面對小石塊支持力的大小為_________________恒定，跟風速v無關。

（2）水平方向氣球受風力做加速運動，當氣球速度等于風速時，兩者間無相對運動，氣球也不再受風力作用，因此氣球的最大水平速度等于風速，即vxm=v。（與傳送帶上的收尾速度相同）；

豎直方向上，浮力大于重力，氣球向上運動，由于氣球和空氣在豎直有相對運動，氣球會受到向下的風力，當豎直方向的合力為零時，豎直分速度最大，即：

解得：

氣球能達到的最大速度的大小為：

七、收尾速度的圖像描述

圖像法是處理物理問題的一種常用方法。物體的速度在達到最終的收尾速度的過程中，速度的變化情況可以用圖像的方法形象的描述，圖像法的優點在于不僅能表示速度的變化，還能反應出物體運動的加速度的變化情況。

【例8】一小鋼球從很深的油槽液面上方由靜止下落，若油對球的阻力與其速率成正比，取小球剛進入油中的時刻為t= 0，則小球運動的速度-時間圖像可能是（ ）

分析：小球進入油中，受重力和阻力，其動力學方程為_________________，最小球做勻速運動，其速度為_________________，因為小球進入油的初速度不確定，有可能大于、小于或者等于_________________，故ABC均有可能。

結語：收尾問題本文歸類了幾種常見的收尾問題的求解方法，問題得到了較好的解決。

【參考文獻】

[1] 漆安慎、杜嬋英.《力學基礎》（第二版），北京：高等教育出版社，1982.

[2] 趙凱華.《電磁學》（第二版），北京：高等教育出版社，2006.

（作者單位：安徽省合肥市第八中學）