在“自然拓展”中拔高案例解讀

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

在“自然拓展”中拔高案例解讀

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

“夯實(shí)基礎(chǔ)，適時(shí)拔高”早已是老師們遵循“新課標(biāo)”理念的基本決策，但如何“適時(shí)”卻仍很茫然，不是硬塞、就是傻灌，使得學(xué)生一接觸拔高的問(wèn)題，要么不做、要么怕做，包括成績(jī)好的都有不自覺(jué)的心理封閉；對(duì)策是如“潤(rùn)物細(xì)如聲”消除恐懼心理，在不經(jīng)意中“自然拓展”拔高，看課堂紀(jì)實(shí).

一、拔高——自然拓展知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系

紀(jì)實(shí)環(huán)節(jié)：

師：如何求拋物線的解析式？

生1：設(shè)拋物線一般式y(tǒng)=ax2+bx+c的方法.

師：很好，大家實(shí)質(zhì)上是用了一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式三種不同的方法，不過(guò)三種形式是可以相互轉(zhuǎn)化的！你覺(jué)得哪種方法對(duì)你來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單些呢？又如何求拋物線的頂點(diǎn)呢？

生5（搶說(shuō)）：一般式和交點(diǎn)式就只能硬用配方法了！但好麻煩的.

師（為打消埋怨?。耗呛茫∈欠窨梢哉业嚼@開(kāi)配方求頂點(diǎn)的方法呢？

師：生2、生3的方法都是從什么條件出發(fā)的？你受到何啟發(fā)？

生7（頓悟）：都是從與x軸交點(diǎn)即點(diǎn)B、C入手的！即從交點(diǎn)式可得出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1和對(duì)稱軸.

生9：解析式不是交點(diǎn)式，而是一般式，又該如何求頂點(diǎn)呢？（挑戰(zhàn)的口吻！）

師：同學(xué)們很不錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)了由交點(diǎn)式可得出頂點(diǎn)式的妙法！要從一般式到達(dá)頂點(diǎn)式，除直接配方法外，還可充分利用交點(diǎn)式這個(gè)“中介”，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生11：老師，如果一般式我們不能分解因式呢？如y=x2+ x+1（我們昨天做過(guò)了的一道題），開(kāi)口向上，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)（0，1）.

生12：老師，上面的方法當(dāng)Δ=b2-4ac＜0時(shí)就失效了！

師：不錯(cuò)！生12總結(jié)出與判別式有關(guān)系！當(dāng)Δ＜0時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，此代數(shù)式不能因式分解，故我們由一般式得不出交點(diǎn)式！上面的方法就真的失效了嗎？

師：拋物線的位置在什么變換時(shí)發(fā)生變化？

眾生：哦！平移變換！

師：真棒！梳理一下剛才的思想方法，特別是繞開(kāi)直接配方求頂點(diǎn)的方法！（拋物線y=ax2+bx+c，向下（c＞0）或向上（c＜0）平移個(gè)單位，得到y(tǒng)′=ax2+bx.右邊因式分解得出與x軸的交點(diǎn)，再得出新拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)，最后向相反的方向向上或向下平移個(gè)單位，即得原拋物線對(duì)稱軸（相同）、頂點(diǎn)坐標(biāo)）

啟示：在基礎(chǔ)知識(shí)自然復(fù)習(xí)過(guò)程中，既有單項(xiàng)的溫習(xí)，更有綜合的聯(lián)系，但探求聯(lián)系的過(guò)程是自然的，盡管有認(rèn)知沖突，但思想方法、主動(dòng)探求意識(shí)自然流露；所以拔高就是自然拓展知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系！

二、拔高——自然拓展情感品質(zhì)

案例2一次選用文［1］的一道思維挑戰(zhàn)題作為數(shù)學(xué)課外活動(dòng)題，活動(dòng)花絮與體悟如下.

題目 關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______.

生甲：把左邊寫(xiě)成一個(gè)關(guān)于x的一次因式與二次因式的積，且這個(gè)關(guān)于x的二次因式恰好無(wú)實(shí)數(shù)解，于是滿足原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根的條件，利用“待定系數(shù)法”求解.3222

甲說(shuō)好像進(jìn)入“死胡同”，寫(xiě)不下去了！

生乙：初中沒(méi)學(xué)一元三次方程的解法，故轉(zhuǎn)換視角改寫(xiě)為關(guān)于a一元二次方程，利用“主元法”求解.

計(jì)算Δa=［-（x2+2x）］2-4（x3-1）=x4+4x2+4=（x2+2）2，發(fā)現(xiàn)始終有Δa＞0，即關(guān)于a的一元二次方程有兩個(gè)不相等的值，轉(zhuǎn)求a的范圍時(shí)不知方向！

其后筆者和其上學(xué)生當(dāng)面探討了起來(lái)，作為老師，首要的應(yīng)該是沿著學(xué)生的思路“走下去”，看看到底行不行，才能更好地肯定學(xué)生已有的正確認(rèn)知和催生學(xué)生靈動(dòng)的思維！于是有.

思路一：待定系數(shù)法

沿著甲的想法，困惑在于太多的輔助字母，自然想到減少輔助字母法；又注意到“關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0”的常數(shù)項(xiàng)a2-1因式分解為（a+1）（a-1），于是改進(jìn)設(shè)法為：

此時(shí)甲樂(lè)了，乙卻急了，忙說(shuō)老師我的呢？筆者笑著說(shuō)：“不要急，我們接著往下看”.

思路二：“主元法”

此時(shí)乙對(duì)甲說(shuō)，我就差那一小步！比你的思路更“大眾化”！

筆者接著他倆的話茬，可見(jiàn)貌似“行不通”的方法，“迎難而上”有時(shí)亦可“破斧成舟、開(kāi)天辟地”，順著他人的思路“硬著頭皮”展開(kāi)探索，從中更能凸顯思維的靈動(dòng)與活力，彰顯“堅(jiān)持與堅(jiān)守”的無(wú)窮魅力！接著啟發(fā)學(xué)生：由求根公式導(dǎo)出的“源頭”，你們可以想到什么新思路？

思路三：配方法

此時(shí)同學(xué)們不約而同地噓噓出：“好巧”，真逗的笑聲！

啟示：對(duì)學(xué)生流產(chǎn)的思路的“堅(jiān)持與堅(jiān)守”，既是一種人性的尊重與肯定，更是鍥而不舍、勇往直前情操的歷練，尤其是不可或缺的哲學(xué)思考！因此“堅(jiān)持”的科學(xué)人文價(jià)值值得重視與開(kāi)發(fā)！所以拔高就是自然拓展情感品質(zhì).

三、拔高——數(shù)據(jù)、數(shù)量自然解讀中拓展信息達(dá)成一題多解（多變）

案例3相似三角形與二次函數(shù)的綜合學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)題目：如圖1.?PQMN內(nèi)接于△ABC，QM在邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，求證：?PQMN的面積不大于△ABC的面積的一半.

分析：對(duì)數(shù)值“一半”、面積數(shù)量等自然解讀，找出對(duì)應(yīng)的概念、公式、定理信息，拓展產(chǎn)生不同的思路與方法.

思路一：局部觀點(diǎn)與函數(shù)思想

（1）特值理解

（2）一般思考

局部觀點(diǎn)即單獨(dú)從平行四邊形面積公式追溯.因?PQMN的面積=底（PN）×高（DE），為找高作AD⊥BC交PN于E，垂足為D，設(shè)PN=x，AD=h，BC=a，?PQMN的面積為S.

思路三：判別式法與化歸思想

由圖1知，S可用△ABC的面積減去△BPQ、△MNC、△APN的面積和；但在原圖形中，只有△APN與△ABC相似，它們間的面積關(guān)系由相似定理易知.但△BPQ、△MNC與△ABC的面積關(guān)系表達(dá)繁瑣困難，想到同類化歸思想相似法可使面積關(guān)系表達(dá)變得容易，即過(guò)點(diǎn)N做NF∥AB交BC于點(diǎn)F，見(jiàn)圖2.

因PN∥BC圯?PBFN且它的面積等于S，于是△APN、△CFN均與△ABC相似.想到相似面積結(jié)論，于是再設(shè)△APN、△CFN的面積依次為S1、S2.

再問(wèn)學(xué)生：還可以如何出題（變式）？

生1：?PQMN變?yōu)榫匦?、正方形或菱形，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？

生2：QM在直線BC上，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？見(jiàn)圖3.

生3：在變式2中，?PQMN變?yōu)榫匦?、正方形或菱形，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？

生4：把原題中的?PQMN變?yōu)閮蓚€(gè)全等的小平行四邊形拼成的圖形，其他條件不變，每個(gè)小的平行四邊形的面積與△ABC的面積又有何關(guān)系？一般地變?yōu)閚個(gè)全等的小平行四邊形拼成的圖形，又如何呢？

生5：類比變式2做變式4的思考，又如何？

生6：把原題中的?PQMN變?yōu)閮?nèi)切圓，又如何？

運(yùn)用特殊與一般、化歸與分析的思想方法不難求解.

啟示：探究是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的一個(gè)重要環(huán)節(jié).思想方法上常有特殊與一般相互轉(zhuǎn)化、題組化的方法，現(xiàn)教材隨處可見(jiàn)“思考”與“探究”字眼，如何準(zhǔn)確把握與激勵(lì)學(xué)生探究，則是課堂中師生互動(dòng)的關(guān)鍵.所以拔高就是數(shù)據(jù)、數(shù)量自然解讀中拓展信息達(dá)成一題多解（多變）.

1.馬小為.中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧（初中）.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2006（11）.

2.陳金紅.迎難·就繁·挑戰(zhàn)偶然和顯然.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2010（9）.

3.陳金紅.習(xí)題“磨”煉·結(jié)構(gòu)“謀”法.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2011（4）.