計及塑性接觸層的法向接觸剛度等效方法

劉 意，劉 恒，易 均，王為民

(1.西安交通大學 機械工程學院，西安 710049;2.東方汽輪機有限公司，四川 德陽 618000)

接觸界面廣泛存在于各種工程組合結構中，對系統動力特性影響備受關注。針對接觸問題的高度非線性［1-3］，主要有解析與數值兩種研究:① GW解析模型［4］，只將粗糙面之間的接觸模擬成彈性半球形凸體與剛性面之間的接觸用統計參數描述粗糙加工表面接觸狀況，未考慮接觸峰之間的相互作用及塑性影響，實際應用中有一定限制。而MB分形接觸模型［5］、引入彈塑性變形系數的 MB 修正模型［6］、GW修正模型［7］等等均未考慮接觸面下層材料受力變形情況，無法完全計入塑性影響。② 采用限元方法對粗糙面與剛性面間的彈性與彈塑性接觸問題進行的分析［8-11］，為揭示接觸界面的一般機理提供了依據。

為清楚接觸界面對系統動力學行為影響，通常將系統中的接觸界面等效為法向、切向均質彈簧［12-13］，避免對含接觸界面系統進行動力學分析時造成困難。而準確性與簡便性是這類接觸界面等效方法成功與否的重要標志。

本文采用典型的粗糙體-剛性面接觸模型，針對彈、彈塑性兩種材料假設，對比分析接觸界面法向剛度等效方法的準確性，發現現有方法處理彈塑性材料接觸時存在較大誤差及誘發原因。通過對接觸界面法向剛度定義的修正，實現處理彈塑性接觸時與原系統的準確動力等效，驗證該方法的準確性和有效性，為工程中大量含接觸界面系統動力學研究提供參考。

1 一般法向接觸剛度等效及不足

1.1 一般法向接觸剛度的定義和求取

圖1(a)為一典型粗糙體與剛性平面受壓接觸的動力系統，按常用的等效方法，該系統動力學行為可用一層法向均質彈簧與一個無界面塊體等效，如圖1(b)所示。其中法向均質彈簧剛度K由接觸界面特性確定:通過對粗糙體施加一定法向壓力Pnom，考察粗糙面均值線與剛性平面法向距離u，由式(1)［12］即可得出在該法向載荷下的界面法向接觸剛度，進而改變法向壓力得出不同法向載荷下界面法向接觸剛度。

圖1 一般法向接觸剛度等效方法Fig.1 Equivalent method for general normal contact stiffness

為便于區分，本文將該定義出的接觸界面法向剛度稱為一般法向接觸剛度，將相應的等效方法稱為一般法向接觸剛度等效方法。

據此定義，利用有限元方法在完全彈性與理想彈塑性兩種假設下，求出圖2所示粗糙體與剛性面接觸受壓時的一般法向接觸剛度曲線，如圖3所示。圖中粗糙面上的尖點在高度方向服從高斯分布，并考慮三種粗糙度情況。模型其他參數見表1。

圖2 含粗糙體—剛性面接觸模型Fig.2 The rough-body-and-rigid-plane contact model

表1 粗糙體—剛性面模型參數Tab.1 Parameters of the rough-body-and-rigid-plane model

圖3 兩種模型一般法向接觸剛度Fig.3 Pressure vs.general normal contact stiffness for both material

由圖3看出，由于材料模型的不同，求出的一般法向接觸剛度存在明顯不同:① 對各種粗糙度，采用完全彈性材料時，一般法向接觸剛度隨載荷的增大而線性增大;② 采用理想彈塑性材料時，一般法向接觸剛度整體小于完全彈性模型，表現出先增大，而后在接近材料屈服極限時顯著下降現象，顯然因部分材料進入塑性使剛度減小所致。

在求得一般法向接觸剛度后，可得與原系統等效的無接觸界面等效動力系統，如圖4所示。

圖4 采用一般方法的等效動力系統Fig.4 Equivalent dynamic system by using general method

1.2 一般界面法向剛度準確性驗證

由于一般法向接觸剛度計算方法的物理意義明確、計算簡單而廣泛應用。但此等效動力系統與原系統受壓變形時的動力學行為是否完全一致，需進一步驗證。本文采用有限元方法在完全彈性與理想彈塑性兩種假設下，對二者受壓時整個系統的法向變形位移曲線進行計算對比:對兩種模型施加0～285 MPa法向壓力，考察系統整體法向位移δ，δe(圖2、圖4)，計算結果如5所示。由圖看出:

(1)對各種粗糙度下完全彈性模型，等效前后系統整體法向位移曲線保持一致，說明一般方法在處理完全彈性接觸時是準確的。

(2)對各種粗糙度下理想彈塑性模型，等效前后其法向位移曲線存在差異，且該差異隨載荷的增大而增大。說明接觸界面法向剛度等效方法在處理彈塑性接觸時存在明顯誤差，未實現動力特性的完全等效。

1.3 進一步研究

為研究原因，圖6給出某一確定載荷壓力下(240 MPa)彈塑性模型等效前后三維應力分布。由圖看出:

圖5 等效前后兩種模型整體法向位移對比Fig.5 Contrast of the systematic normal displacement before and after equivalence for the both material

(1)受表面形貌影響，等效前粗糙面下層材料應力分布不均勻，局部發生塑性變形，最大應力大于材料屈服極限，使該部分材料剛度下降。

(2)等效后接觸界面已被一層均質彈簧替代，無界面彈塑性體不再受表面形貌影響，因而未產生應力不均、塑性變形及所致的剛度下降。

圖6 理想彈塑性模型受力分布Fig.6 Stress distribution of the ideally elastic-plastic body

顯然，一般法向接觸剛度等效方法在處理彈塑性接觸界面時存在明顯誤差的原因是未能完全計及接觸界面附近塑性區域影響所致。需著重指出的是，雖然彈性模型接觸時也存在應力集中，但由于材料的完全彈性特征，應力大小不會引起彈性模量變化，因而不會因部分材料進入塑性造成剛度下降。

2 接觸界面法向剛度接觸層等效

由分析看出，一般法向接觸剛度等效方法實質是通過考察不同法向載荷下粗糙面均值線與剛性面間的位移變化規律，得出此區域法向等效剛度，并將其定義為此接觸界面法向剛度。因考察區域未含所有塑性范圍，故難以實現對原模型在彈塑性接觸時的完全動力等效。

為解決此問題，即將一般方法中計算接觸界面法向剛度的考察區域擴大，使之能包含實際所有塑性區域，在接觸界面法向剛度計算中計入塑性區域影響，接觸界面法向剛度同時擴展為界面接觸層法向剛度。

2.1 界面接觸層法向剛度定義

仍以含粗糙面接觸體與剛性平面受壓接觸的動力系統為例，其動力學行為仍用一層法向均質彈簧與一無界面塊體等效，如圖7所示。區別在于法向均質彈簧剛度不再僅等效粗糙面均值線與剛性面間接觸面的剛度，而是包含了系統受壓時所有塑性區域及接觸界面虛設接觸層的法向剛度等效，本文稱其為界面接觸層法向剛度Kcl。通過對接觸體施加法向壓力Pnom，考察整個接觸層ucl的法向變形，表達式為:

圖7 接觸層法向剛度等效方法Fig.7 Equivalent method for contact-layer normal stiffness

2.2 界面接觸層法向剛度求解

確定界面彈塑性接觸層厚度，對圖2三維粗糙體—剛性面接觸系統施加240 MPa載荷，利用有限元方法給出塑性變形區域，見圖6(a)，載荷不同，接觸層厚度不斷變化。在載荷范圍內改變壓力大小，得到接觸層厚度變化曲線，如圖8所示。

據不同載荷狀況，將圖8曲線中相應的接觸層厚度作為ucl，代入式(2)即可完成界面接觸層法向剛度計算，結果如圖9所示。

利用新方法等效后，原系統等效結果如圖10所示。

圖8 接觸層厚度的變化曲線Fig.8 Pressure vs.the thickness of contact-layer

圖9 界面接觸層法向剛度曲線Fig.9 Pressure vs.contact-layer normal stiffness

圖10 采用新方法得到的等效動力系統Fig.10 Equivalent dynamic system by using new method

2.3 新方法準確性驗證

圖11 新方法等效前后系統的整體法向位移Fig.11 Contrast of the systematic normal displacement before and after equivalence by using new method

驗證方法同1.2節，考察新方法在處理彈塑性接觸時的準確性。結果如圖11所示。可以看出:在全載荷范圍內，原系統受壓后整體法向位移與等效后模型一致性較好，表明新界面接觸層法向剛度等效方法優于一般法向接觸剛度等效方法，并成功解決了后者在處理彈塑性接觸時誤差較大問題。

需著重指出的是，該接觸層等效方法多針對平面之間的接觸狀況，對分析圓柱面或球面接觸情況尚需改進，但可將小面積平面接觸剛度粗略為圓柱面或球面接觸剛度，以作簡化之用。

3 應用舉例

新方法完全計入塑性影響后，對系統動力特性造成何種影響，為此本文以機床中存在的接觸系統為例進行相關分析。建立圖12的接觸系統模型，該系統由兩相同粗糙體組成，在載荷壓力Pnom作用下粗糙面發生接觸，接觸狀態能反映真實情況。兩接觸界面粗糙度均為3.2 m，其它參數同表1中理想彈塑性材料。

圖12 兩粗糙體接觸系統Fig.12 Two-rough-body contact system

分別采用新方法與一般等效方法對兩粗糙體接觸系統進行等效。由于新方法中彈簧包含接觸層厚度，導致其無界面塊體長度較小，見圖13。兩種方法等效后，系統中A點振動量隨頻率變化規律如圖14所示。接觸界面在切向方向完全固結，系統阻尼比0.05。

圖13 兩種方法等效動力系統Fig.13 Tow equivalent systems by using the both methods

由圖14看出，與現有方法相比，新方法等效后系統一階臨界頻率略降低，一臨界處振動量有所增大。此為新方法完全計入材料塑性影響，使系統整體剛度下降所致。需要指出的是，含接觸界面動力系統載荷、約束及界面在其中的位置均會影響新方法的改進效果，此尚需進一步研究。

4 結論

(1)一般界面法向剛度等效方法處理彈塑性材料接觸時存在較大誤差，主因為所定義的界面法向剛度由考察不同法向載荷下粗糙面均值線與剛性面間位移變化規律得出，無法完全計及因表面形貌造成的局部應力集中及塑性屈服影響。

(2)通過將界面法向剛度定義擴展為包含接觸界面及附近所有塑性區域接觸層剛度，可有地克服現有接觸界面法向剛度定義的不足，能實現處理彈塑性接觸時與原系統準確動力等效。

(3)與一般界面等效方法相比，新方法使系統一階臨界頻率略有降低，一臨界處振動量有所增大。

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