“圖形的認識與證明”易錯剖析

例1 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為_______.

【錯解】只答60°.

【錯因剖析】很多同學在畫圖的過程中，由于思維定勢或不嚴密，導致習慣性地畫了頂角為銳角的等腰三角形，如圖1，從而有∠ABD=30°，故頂角為60°.而等腰三角形從角的度數來分，也分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，而這三類三角形各邊上的高的位置各不相同，銳角三角形的三條高均在形內，直角三角形有兩條高就是直角邊，而鈍角三角形有兩條高在形外.當等腰三角形的頂角是鈍角時，腰上的高就在形外，如圖2，則∠ABD=30°，得頂角為120°. 正確答案為60°或120°.

例2 如圖3，△ABC中，點D是邊BC上的點，連接AD.

（1） 若AD⊥BC，點D是BC的中點，則AD平分∠BAC.

（2） 若AD平分∠BAC，點D是BC的中點，則AD⊥BC.

【錯解】不少同學認為（1）、（2）都可由“三線合一”直接得到.

【錯因剖析】等腰三角形的“三線合一”性質的運用前提是AB=AC，然后當底上的AD是“高線、中線、頂角平分線”中的一線時，AD才必然是另外的兩線.而有些同學認為只要具備了兩線合一時，就可以用“三線合一”得出等腰三角形，這是本末倒置.因此，同學們在用定理進行推理的時候一定要弄清條件和結論的關系，切忌胡亂套用.

解： （1） 先由垂直平分線的性質得AB=AC，再可用“三線合一”來說明AD平分∠BAC ；問題（2）則需延長AD至點E，使DE=AD，再連接BE，可證△ADC≌△EDB，得AC=BE，∠BAD=∠DAC=∠BED，故AB=BE=AC，然后再用“三線合一”可證明AD⊥BC.

【錯因剖析】漏解.如圖4，首先弦AB、AC相對于圓心O的位置可分為圓心同側和異側兩種，很多同學畫圖時沒有同時想到這兩種情況；然后，如何計算∠BAC也具有一定的難度，很多同學不能構造合適的三角形，使∠BAC與∠CAO、∠BAO建立聯系.

例4 下列命題是真命題的是（ ）.

A. 對角線互相相等的四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形

C. 矩形的對角線互相垂直 D. 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形

【錯因剖析】用對角線的條件來說明特殊四邊形必須以平行四邊形為基礎，因為矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，是在平行四邊形的基礎上增加條件而形成的.所以，僅用對角線的條件來判斷特殊四邊形可以用對角線互相平分來代替平行四邊形.就是說，用對角線的條件來說明矩形、菱形和正方形必須以“平行四邊形”或“對角線互相平分”的條件為基礎.而矩形、菱形和正方形這些特殊四邊形都具備平行四邊形的一切性質，要防止特殊四邊形之間的性質混用，可以借助圖形來記憶. 正確答案為D.

（1） 當P異于A、C時，請說明PQ∥BC；

（2） 以P為圓心、PQ長為半徑作圓，問在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

【解析】（1） 連接BD交AC于O，構建直角△AOB. 利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質推知△PAQ∽△CAB；然后根據“相似三角形的對應角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結論.

當圓心P繼續運動，則⊙P與邊BC由相切變為相交，從而⊙P與邊BC有2個公共點，直至⊙P的半徑逐漸變大而⊙P剛好經過點B時，這是第二種特殊情況.如圖7，⊙P過點B，此時PQ=PB，根據等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質以及（2） 中求得t的值來確定此時t的取值范圍；

當圓心P繼續運動，則⊙P與直線BC保持相交，但⊙P越過點B，與邊BC就只有一個公共點了，直至⊙P的半徑逐漸變大而⊙P剛好經過點C時，這是第三種特殊情況.如圖8，⊙P過點C，此時PC=PQ，據此等量關系列出關于t的方程，通過解方程求得t的值.

當圓心P繼續運動，則⊙P越過了點C，與邊BC就沒有公共點了，但是當圓心P運動至點C時，則點Q運動到了點B，此時⊙P與邊BC有1個公共點B，則AQ=AB.

【錯因剖析】很多同學很難根據兩個動點的運動過程來畫出⊙P與邊BC不同的位置情況及特殊情況（或稱臨界狀態）進行分類討論，如圖6、圖7、圖8，而每種臨界狀態對應了線段之間的數量關系，是建立關于t的方程的依據，但是很多同學不能發現每種臨界狀態所隱含的數量關系，從而導致面對此題束手無策.

如圖7，⊙P過點B，此時PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°，

∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1.

當點P運動到點C，即t=2時，⊙P過點B，此時，⊙P與邊BC有1個公共點.