實際應用型問題

試題特征分析

數學應用型問題是歷年中考命題的主要題型之一.這類問題大多是源于自然、社會與科學中的現象，呈現時通常會經過數學的“形式化”處理，文字敘述貼近現實生活，題目較長，數量關系分散隱蔽.面對此類問題，同學們通常會感到茫然，不知從何下手，易產生恐懼、畏懼心理.

解題方法指導

解實際應用型問題的一般程序：

（1） 讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系.應用題文字表達是必不可少的，疏通文字、閱讀理解題意是入門的第一關.

（2） 建：解應用題的根本是“建模”，熟悉基本數學模型，正確簡便地建立數學模型是關鍵的一環.即針對題意，完成由實際應用性問題向數學問題的轉化，選擇好所要用到的數學知識，通過抽象、概括將其轉化為一個純粹的數學問題.

（3） 解：求解數學模型，得到數學結論.即運用我們具備的數學知識和技能，完成對所建數學模型的解答.

（4） 答：將數學方法得到的結論，還原為實際問題的意義.由于數學模型的解答并不一定完全符合問題的實際意義，所以要針對應用問題的實際，對模型解答進行分析、反思，得出實際問題的正確解答.

熱點問題解析

一、 方程（組）、不等式（組）型實際應用題

例1 （根據2012貴州銅仁中考題改編）為了抓住梵凈山文化藝術節的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術節紀念品.若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要950元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元.

（1） 求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？

（2） 若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這100件紀念品的資金不少于7 500元，但不超過7 650元，那么該商店共有幾種進貨方案？

【分析】（1） 此問題等量關系式為：8件A紀念品的錢數+3件B紀念品的錢數=950，5件A紀念品的錢數+6件B紀念品的錢數=800；（2） 此問題關系式為：購買100件A和B的資金不少于7 500元，但不超過7 650元.

【解析】（1） 設該商店購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元，根據題意得方程組8a+3b=950，5a+6b=800.解之得a=100，b=50.

∴購進一件A種紀念品需要100元，購進一件B種紀念品需要50元.

（2） 設該商店購進A種紀念品x個，則購進B種紀念品有（100-x）個，

根據題意得100x+50（100-x）≥7 500，100x+50（100-x）≤7 650.

解得50≤x≤53.

∵x為正整數，∴共有4種進貨方案.

【點評】列方程、不等式解決實際問題的關鍵是能正確分析出實際問題中的等量關系和不等關系，應注意第二問應求得整數解.一元一次不等式組的應用和二元一次方程組的應用相結合是每年中考的重點，同時也是難點.

變式問題

（2012·福建福州）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分.

（1） 小明考了68分，那么小明答對了多少道題？

（2） 小亮獲得二等獎（70～90分），請你算算小亮答對了幾道題？

【參考答案】（1） 小明答對了16道題；（2） 小亮答對了17道題或18道題.

二、 函數型實際應用問題

例2 甲、乙兩車同時從A地出發，以各自的速度勻速向B地行駛，甲車先到達B地，停留1小時后按原路以另一速度勻速返回，直到兩車相遇，乙車的速度為每小時120千米，下圖是兩車之間的距離y（千米）與乙車行駛時間x（小時）之間的函數圖象.

（1） 請在圖中的（ ）內填上正確的值，并直接寫出甲車從A到B的行駛速度.

（2） 求從甲車返回到與乙車相遇過程中y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（3） 求出甲車返回時行駛速度及A、B兩地的距離.

【分析】（1） 根據圖象分析易得結果；（2） 利用待定系數法求解；（3） 略.

【解析】（1） 由圖1中可以看出，甲、乙兩車在3小時時相距240千米，然后只剩下乙車行走，乙車1小時行走120千米，所以4小時時，兩車相距120千米；∵3小時兩車相距240千米，∴1小時兩車相距80千米.

∵乙車的速度為每小時120千米，∴甲車的速度為200千米/時，故答案為120.

（2） 設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，

把坐標（4.4，0）和（4，120）代入可求解，得y=-300x+1 320；

（3） ∵兩車用0.4小時共同開了120 km，乙車的速度為120千米/時，∴兩車1小時共開了300千米.

∴甲車的速度為180千米/時，甲乙兩地的距離為200×3=600千米.

【點評】理解函數圖象的橫軸和縱軸表示的意義是解決本題的突破點，其中三條線段的端點的實際意義是解決本題的關鍵點.本題主要考查一次函數的圖象和應用，函數型實際應用問題是中考考查的重點，重在考查認識圖象、分析圖象和利用圖象解決問題的能力.

變式問題

（2009·廣西河池）為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，如圖所示.根據圖2中提供的信息，解答下列問題：

（1） 寫出從藥物釋放開始，y與x之間的兩個函數關系式及相應的自變量取值范圍；

（2） 據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.45毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時，學生才能進入教室？

拓展問題

有兩段長度相等的河渠挖掘任務，分別交給甲、乙兩個工程隊同時進行挖掘.圖3是反映所挖河渠長度y（米）與挖掘時間x（時）之間關系的部分圖象.請解答下列問題：

（1） 乙隊開挖到30米時，用了______小時，開挖6小時時，甲隊比乙隊多挖了______米；

（2） 請你求出：

① 甲隊在0≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式；

② 乙隊在2≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式；

③ 開挖幾小時后，甲隊所挖掘河渠的長度開始超過乙隊？

（3） 如果甲隊施工速度不變，乙隊在開挖6小時后，施工速度增加到12米/時，結果兩隊同時完成了任務，問甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為多少米？

【參考答案】（1） 2；10；（2） ① y=10x；② y=5x+20；③ 4小時后，甲隊挖掘河渠的長度開始超過乙隊；（3） 甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為110米.