操作探究型問(wèn)題

試題特征分析

此類問(wèn)題通常是以幾何圖形題的方式呈現(xiàn)，結(jié)合了圖形的變換、全等與相似等初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，需要仔細(xì)閱讀題目中提供的信息以便作出合理的推斷.（1） 需要進(jìn)行畫(huà)圖或?qū)嶒?yàn)操作，了解問(wèn)題的大致范圍或內(nèi)容.（2） 目標(biāo)常常是有指向性的，但結(jié)論需要經(jīng)過(guò)探索確定.（3） 整題的解答常常表現(xiàn)出不同層次的結(jié)果.

各地中考中常將此類題目作為壓軸題呈現(xiàn).題目大多是在課本原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)性的變化拓展，或從某些結(jié)論是否保持不變的角度進(jìn)行研究.

解題方法指導(dǎo)

（1） 充滿信心又耐心細(xì)致：此類問(wèn)題的題量大，初看時(shí)難免有點(diǎn)畏懼，但只要你結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)方法，根據(jù)題目呈現(xiàn)的順序和要求進(jìn)行操作嘗試，解答時(shí)就一定會(huì)有所收獲.

（2） 注意思維的遷移特點(diǎn)：證明特殊情況下的結(jié)論時(shí)所采用的方法往往可以給一般情況下的證明提供有益的啟示.

（3） 操作中敢于大膽猜想：嚴(yán)密細(xì)致的推理是必要的，但由于此類問(wèn)題的結(jié)論在“暗”處，有時(shí)需要經(jīng)歷一定的嘗試性探索，如畫(huà)出不同情況下的圖形進(jìn)行度量觀察發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的結(jié)論.

熱點(diǎn)問(wèn)題解析

一、 圖形割補(bǔ)問(wèn)題

例1 （2011·常州）已知：如圖1，圖形① 滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°.圖形②與圖形①恰好拼成一個(gè)菱形（如圖2）.記AB的長(zhǎng)度為a，BM的長(zhǎng)度為b.

（1） 圖形①中∠B=_______°，圖形②中∠E=_______°；

（2） 小明有兩種紙片各若干張，其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同，這種紙片稱為“風(fēng)箏一號(hào)”；另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同，這種紙片稱為“飛鏢一號(hào)”.

① 小明僅用“風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形，需要這種紙片_______張；

② 小明若用若干張“風(fēng)箏一號(hào)”紙片和“飛鏢一號(hào)”紙片拼成一個(gè)“大風(fēng)箏”（如圖3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ.請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出拼接線并保留畫(huà)圖痕跡.（本題中均為無(wú)重疊、無(wú)縫隙拼接）

【分析】可用剪紙進(jìn)行嘗試，注意題中的線段、角度關(guān)系以及無(wú)重疊、無(wú)縫隙所表示的數(shù)學(xué)意義.

【解析】（1） 連接AM，易得△ADM≌△ABM，利用三角形內(nèi)角和可得∠B=72°，同理可得∠E=36°；

（2） ① 分析可知，拼接點(diǎn)只能是點(diǎn)A，利用360°除以72°即可得到需要“風(fēng)箏一號(hào)”紙片5張；

② 如圖4，以P為圓心，以a長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與PI和PJ分別交于兩點(diǎn)，然后以兩交點(diǎn)為圓心，以b長(zhǎng)為半徑在∠IPJ的內(nèi)部畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與點(diǎn)Q，畫(huà)出滿足題意的拼接線.

【點(diǎn)評(píng)】此題以“風(fēng)箏”、“飛鏢”為背景，以圖形的剪和拼為形式，考查掌握菱形的性質(zhì)、正多邊形、圓、密鋪等重要知識(shí)，需要同學(xué)們靈活運(yùn)用兩三角形的全等得到對(duì)應(yīng)的角相等，掌握密鋪的規(guī)律.

變式問(wèn)題

如圖5是一塊四邊形的薄鋼板，∠A=60°，∠C=120°，AB=AD.

（1） 能否先沿一條對(duì)角線將鋼板切割成兩塊，再焊接成一塊與原鋼板面積相同的三角形鋼板？若能，請(qǐng)說(shuō)明切割、焊接的方法，用虛線畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明焊接的鋼板是什么三角形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2） 若BC=1 m，CD=3 m，求這塊鋼板的面積.

二、 相似應(yīng)用問(wèn)題

例2 （2011·江蘇鹽城）情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到△ABC和△A′C′D，如圖6所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖7所示.

觀察圖7可知：與BC相等的線段是 _______，∠CAC′=_______°.

問(wèn)題探究：如圖8，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸：如圖9，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= kAE，AC= kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】可通過(guò)度量的方法發(fā)現(xiàn)二線段間的關(guān)系，從“問(wèn)題探究”中的相等關(guān)系到“拓展延伸”中的不等關(guān)系（可嘗試將k的值設(shè)置成2、3），聯(lián)想到證明線段相等（倍數(shù)）關(guān)系的常用手段是三角形的全等（相似）.

【解析】（1） 根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得：BC=AD.∵△AC′D≌△CAB，∴∠AC′D=∠CAB.∵∠AC′D+∠C′AD=90°，∴∠CAB+∠C′AD=90°.即可得∠CAC′=90°.

（2） 證明Rt△ABG≌Rt△EAP，得AG=EP，同理AG=FQ， ∴EP=FQ.

【點(diǎn)評(píng)】本題以幾何中最常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)變換形式呈現(xiàn)，考查了初中幾何學(xué)習(xí)中最重要的全等三角形和相似三角形的判定.

變式問(wèn)題

在圖10至圖12中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1=∠2=45°.

（1） 如圖10，若AO=OB，請(qǐng)寫(xiě)出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2） 將圖10中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖11，其中AO=OB. 求證：AC=BD，AC⊥BD；

【參考答案】（1） AO=BD，AO⊥BD；（2） 過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交MN于點(diǎn)P，由全等可得；（3） 過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交MN于點(diǎn)P，由相似可得.