質點運動型問題

試題特征分析

質點運動型問題，通常以幾何圖形為載體、以運動變化為主線，集代數、幾何為一體，考查同學們綜合運用數學基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗分析問題、解決問題的能力.

解題方法指導

一般地，質點運動型問題有點動、線動、形動等幾種情形，但不管是哪種類型的質點運動型問題，其幾何圖形均按照一定的規則運動，變化有序.因而，在解決問題的過程中，首先需要能用運動變化的眼光去觀察、研究圖形，找準圖形運動變化過程中的臨界位置，抓住靜止的瞬間，把握運動的規律，化動為靜，以不變應萬變；其次需要將圖形特征轉化為數量關系，從而建立數學模型解決問題.

熱點問題解析

一、 點動類

（1） 請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行.

（2） 當t為何值時，△OMN∽△OBA？

（3） 甲、乙兩人之間的距離為MN的長.設s=MN2，求s與t之間的函數關系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值.

【分析】（1） 用反證法說明.假設甲、乙兩人到達O點前，MN與AB平行，繼而由三角形相似得比例式推出矛盾；（2） 以甲、乙兩人到達O點的時間為界，按時間分段由三角形相似得比例式建立方程解答；（3） 在不同的時間段運用勾股定理分別建立函數解析式，再運用函數的性質解答問題.

【點評】本題解題的關鍵在于以“甲、乙兩人到達O點的時間”為界，按時間將整個運動過程分成三段，然后再分段建立方程、函數模型來解答問題.這樣一種解題策略，通常稱之為“定界分段、按域建模”.此題綜合考查圖形與坐標、相似三角形的判定與性質、二次函數的最值、特殊銳角的三角函數、勾股定理等知識點，主要涉及數形結合和分類討論的思想方法.

二、 線動類

（1） 用含t的代數式表示點P的坐標；

（2） 過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？

【分析】（1） 緊扣“直線l在平移過程中與x軸的夾角保持30°不變”，應用特殊角度的三角函數值解直角三角形；（2） 畫出⊙P在左側和右側與直線OC相切的兩種“靜止”狀態的圖形，應用圓的切線的性質解決問題.

【點評】本題解題的關鍵在于抓住運動過程中“⊙P與直線OC相切”的兩種“靜止”狀態，畫出圖形，應用圓的切線的性質建立方程模型解決問題.這樣一種解題策略，通常稱之為“動中覓靜、以靜制動”.此題綜合考查圖形平移的性質、解直角三角形、圓的切線的性質與判定等知識點，主要涉及數形結合和分類討論的思想方法.