閱讀理解型問題

試題特征分析

閱讀理解型問題是近幾年中考的熱點考題之一，其命題形式靈活，取材廣泛，一般是提供有關的閱讀材料，要求同學們先閱讀，然后根據材料中提供的信息回答相關問題.

近幾年中考閱讀理解型問題提供的材料信息含量都較大，構思新穎別致，題樣比較多變.有時是將高中的知識點進行改編，有時設計一個新的數學情境，讓同學們在閱讀的基礎上理解其中的內容、方法和思想，然后在把握本質、理解意義的基礎上作出回答.

解題方法指導

閱讀理解型問題主要題型有：（1） 判斷概括型，即閱讀特殊范例推出一般結論；（2） 方法模擬題，即閱讀解題過程，總結解題規律、方法；（3） 遷移發展型，即閱讀新知識，研究新問題，運用新知識解決問題. 解決閱讀理解問題的關鍵是要認真仔細地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了哪些新的數學知識、結論，或揭示了什么數學規律，或暗示了哪種新的解題方法，然后展開聯想，將獲得的新信息、新知識、新方法進行遷移，建模應用，解決題目中提出的問題.

熱點問題解析

例 （2012·江蘇淮安）閱讀理解

如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合.無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角.

小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形.

情形一：如題圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；

情形二：如題圖3，沿△ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下的部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.

探究發現

（1） △ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？_______.（填：“是”或“不是”）

（2） 小麗經過三次折疊發現了∠BAC是△ABC的好角，請探究∠B與∠C（不妨設∠B>∠C）之間的等量關系.

根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B>∠C）之問的等量關系為_______.

應用提升

（3） 小麗找到一個三角形，三個角分別為15°，60°，105°，發現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角.

請你完成：如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.

【分析】（1） 利用三角形外角的性質和折疊對稱性即可解決；（2） 根據第（1） 問的結論繼續探索；（3） 利用“好角”的定義和三角形內角和列出方程解出答案.

【解析】（1） 由折疊的性質知，∠B=∠AA1B1.因為∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，而∠B=2∠C，所以∠A1B1C=∠C，就是說第二次折疊后∠A1B1C與∠C重合，因此∠BAC是△ABC的好角.

（2） 因為經過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A2B2C=∠C. 如圖4所示.

∵∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∴∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.

由上面的探索發現，若∠BAC是△ABC的好角，折疊一次重合，有∠B=∠C；折疊二次重合，有∠B=2∠C；折疊三次重合，有∠B=3∠C；…；由此可猜想若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B=n∠C.

（3） 因為最小角4°是△ABC的好角，根據好角定義，則可設另兩角分別為4m°，4mn°（其中m、n都是正整數）.

由題意，得4m+4mn+4=180，所以m（n+1）=44.

因為m、n都是正整數，所以m與n+1是44的整數因子，因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2.所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1.

所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88.

所以該三角形的另外兩個角的度數分別為：4°，172°；8°，168°；16°，160°；44°，132°；88°，88°.

【點評】本題主要考查對軸對稱圖形、等腰三角形、三角形的內角和定理及因式分解等知識點的理解和掌握.

【說明】本題是閱讀理解題，解決本題的關鍵是讀懂題意，理清題目中數字和字母的對應關系和運算規則，然后套用題目提供的對應關系解決問題，具有一定難度.

變式問題

（2） 如圖6，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′ C′，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值；

（3） 如圖7，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值.

通過此類試題的分析，同學們在平時的課堂教學中應加強對數學閱讀理解能力、信息獲取能力以及信息處理能力的訓練，這對于提高我們運用數學知識的綜合能力，以及對以后的學習會有極大的益處.