從一題多解談數學發散思維的培養

摘 要：數學新課程注重培養學生的發散思維，發散思維是創造力的核心，是靈活應用知識的重要前提。此文主要探討通過一題多解培養數學發散思維。通過一題多解的教育功能——鞏固知識、加強知識聯系、思想方法滲透等方面討論其對發散思維流暢性、變通性、獨特性的培養。另外注重解題后反思是發揮一題多解培養發散思維的重要環節。

關鍵詞：一題多解 發散思維 遷移

一、引言

隨著數學課程改革的深入，數學教學除了要讓學生掌握基礎知識和基本技能即完成“雙基”教學外，還要進一步培養學生的數學思維能力及數學創新意識等，而在思維能力培養和創新意識的培養中，注意發展學生的發散思維，讓學生積極思維，大膽設想，防止思維定式，這樣才能提高學生分析和解決問題的能力，也只有這樣才能真正提高學生的創新能力。正如徐利治先生在《數學方法論選講》中給出的這樣一個公式：創造力=知識+發散思維能力，可見培養學生發散思維能力是發展學生創造能力的重要方面。發散思維是靈活運用知識解決問題所必需的，更是迎接信息時代，適應未來生活所應具備的能力。

一題多解，就是用不同的思維分析方法，多角度多途徑地解答問題。一題多解對一道題可能涉及各方面的知識要進行不同角度、不同層面的深入研究，目的是將這道題做“深”、做“廣”、做“透”。這樣做有利于全面、系統掌握解題規律，加強各部分知識之間的聯系，從而使所學知識得到“升華”，因而是培養發散思維的有效途徑。

二、一題多解，促進知識遷移，培養發散思維

美國心理學家吉爾福認為，發散性思維是指“從給定的信息中產生信息，其著重點是從同一的來源中產生各種各樣的為數眾多的輸出”。因此發散思維的培養首先要建立在信息源上，信息量多，發散的廣度才可能越大。同時，發散性思維強調通過聯想和遷移對同一個問題形成盡可能多的答案，并尋找多種正確途徑。

1.一題多解，夯實基礎，增強發散思維的流暢性。注重“雙基”教學，加強知識積累，是培養學生發散思維的必要準備。知識積累量增加，則面對知識的建構更有意義，有利于知識遷移。一題多解的解答過程，可從不同側面重溫這些知識，檢查自己對概念、定理公式的理解是否準確，進而夯實基礎。知識積累量增加，使得學生能在盡可能短的時間內生成并表達出盡可能多的思維觀念，即增強了發散思維的流暢性。

2.一題多解，加強知識的聯系，培養學生發散思維的變通性。數學問題總是具體的，而在具體內容中，所蘊含的知識點與其他的知識點又有著內在聯系，這些聯系便是本質。一題多解對題目從不同的角度進行觀察和分析，發現隱蔽關系，抓住題目中條件和結論之間的有機聯系，從而從不同角度尋找到解決問題的方法。

例1 設a，b，c為三個非負的實數，試證：

■+■+■≥■（a+b+c）。

證法一：由題設和均值不等式有：

■=■■≥■■

同理有：

■≥■（b+c），■≥■（c+a）

于是有：

■+■+■≥■（a+b+b+c+c+a）=■（a+b+c）。

證法二 由■等的形式可以聯想到直角三角形的斜邊的表達式，所以我們可以用作圖的方法作出（如圖1）有關線段。

BA=■，BC=■，

CD=■，AD=■（a+b+c）

顯然有AB+BC+CD≥AD，即求證式成立。

三、一題多解促進思維的廣闊與靈活性，培養發散思維

通過一題多解，引導學生從不同的角度、不同的方位、不同的觀點分析思考同一問題，從而擴充思維容量，使學生不滿足固有的方法，尋求新法。一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發展思維能力。

1.一題多解注重數學思想方法的滲透。數學課程改革，要求學生不僅要掌握所學的數學知識，更要學會將數學知識應用于生活，而數學運用中數學思想方法的體現與運用是重要組成部分。所以在解題過程中數學思想方法的滲透具有重要意義。數學思想方法有方程思想、函數思想、整體思想、三角變換、配方、換元、分類、數形結合等。在解題中這些思想方法的運用往往會產生令人耳目一新的解法，不僅可以從不同的角度挖掘解題路徑，而且有利于發散思維的培養。

從題目的結構特征（外形特征、內在特征）中捕捉有用的信息，通過歸納、類比、聯想等，從而得到問題的答案。如果捕捉同一題目結構特征的角度不同，獲得的有用信息就不同，進而產生一題多解。而歸納、類比、聯想往往是獲得問題解決的重要數學思想方法。

2.一題多解后反思，促進思維的深刻性。一題多解不能以多為勝，要有目的性和側重點。如果只刻意追求題目的多解而不考慮它們各自的優劣、簡繁，也不考慮哪種解法是通法，哪種解法是簡便方法，對方法的使用價值沒有分析比對，這樣的一題多解不僅對發散思維的培養沒有幫助，還容易讓學生產生困惑，學生就像滿天抓麻雀，一個也沒逮著，只是抓到幾片羽毛。

四、結束語

一題多解突破思維定式，開闊解題思路，有效地開發學生創造思維，是培養學生發散思維的重要方法。

一題多解對于培養數學發散思維具有重要意義，但在實際教學中，對方法要有所選擇和側重。刻意追求多解，而不考慮解法的選擇常常造成學生對解題方法、思路的不明晰，產生困惑。所以在一題多解的教學中要注意淡化繁解，否則講解繁解后容易導致學生先入為主，不利于對好方法的掌握；遵循常規，巧解兼顧，解題是學生鞏固所學知識的重要途徑，過于強調解題巧妙、快捷，淡化常規不利于學生基本數學思想的掌握。所以一題多解在方法選擇和講解上要有所側重。

同時在培養發散思維的過程中，仍需要集中思維的配合，需要嚴謹的分析，合乎邏輯的推理，在發散的多種途徑、多種方法中，也需要通過比較判斷，獲得一種最簡捷、最科學的方案與結果。思維的發散與集中猶如鳥的雙翼，需要和諧配合，才能使學生的思維發展到新的水平。

參考文獻

[1] 問道，王非.思維風暴[M].北京：華文出版社，2009，22～29.

[2] 濮安山.中學數學教學論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2004，165～174.

[3] 柳斌.教學思想錄[M].南京：江蘇教育出版社，1996，375.

[4] 王亞輝.數學方法論[M].北京：北京大學出版社，2007，

93～94.

[5] 李少萍，李傳貞.淺談數學教學對學生發散思維的培養[J].數學教學研究，2009，28（12）：54～57.

[6] 李建，梁元橋，張爽等.數學思維方式的培養[J].科教創新，2009，（4）：27.