數列的通項公式

在數列的通項公式教學中，我發現在給定數列前幾項的情況下，大多數學生認為其通項公式只有一種表示形式。針對上述問題，我采取了如下的教學方式：

給出數列{an}的前三項為1，3，5，請寫出這個數列的一個通項公式。

生A：太簡單了，都是奇數，an=2n-1.（學生表示贊同，并且不再思考）

師：的確是簡單了，我們把這個題目改一改，前提不變，請你寫出這個數列的前六項。（學生剛開始認為：那不是更簡單？后來發現了不同，提起興趣，紛紛動筆或思考）不如這樣，我們分成八個小組，看哪個小組找得最多！

（下面一段時間，學生進行激烈的討論，研究出成果來還“保密”，害怕被其他小組“竊取”）

師：我看大家研究得差不多了，誰先來展示一下研究成果？

生A：我還是堅持上次的觀點，寫出1，3，5，7，9，11，肯定對吧！（我點頭微笑表示同意）

師：其實，你寫出的這列數除了都是奇數外還有什么特點？

生A：后項與前項的差都是2.

師：能不能再嚴密點？

生A：噢，第一項沒前項，應該說從第二項開始，每一項與前一項的差都是2.

師：太棒了，這恰好是我們后面將要學習的等差數列的特點，看來只要我們動動腦筋，許多新知識都可以自己總結出來！除了這個，你們還有其他的結果嗎？（還想寫成1，3，5，5，5，5，行嗎？）

師：完全可以呀！能解釋你們的設計意圖嗎？（生A極力推舉B來回答）

生B：我就是想這樣挺簡單的，后面都是5。

師：思路很好，你能不能再想一想你所寫的數列的通項公式？（生B稍猶豫）其他同學有沒有類似的答案？（學生表示有類似答案，只不過后面的數有的是0，有的是7，等等）那我們一起幫他想！（提示生B）看看這個數列的特點。

生B：從第三項起，后面都是5，像常數列。

師：很好，想一想常數列的通項公式。

生B：an=5。

師：那前兩項是否符合這個規律呢？

生B：不符合，可以寫成a1=1，a2=3，an=5（n=3，4，5，…）

師：大家同意嗎？（同意！）好！其他小組還有沒有不同方法？

生C：我們組寫出1，3，5，11，21，43。

師：這個挺有意思，這些數之間有什么規律嗎？

生C（很自豪）：當然有了，1×2+3=5，3×2+5=11，5×2+11=21，11×2+21=43。

師：你很聰明，思路很好，有什么公式可以表示這個數列嗎？（見學生思考有困難）可以試著把C說的規律中的數與它對應的項聯系上，大家一起說！

生：a1×2+a2=a3，a2×2+a3=a4，a3×2+a4=a5，a4×2+a5=a6，…an-2×2+an-1=an。

師：這個公式與通項公式一樣嗎？（不一樣）這是我們下節課要學習的數列的另一種表示方法：遞推公式。

（學生還有很多不同的方法，由于時間有限，將其余部分答案留到課后研究，并試著寫出不同的通項公式。）

師：現在我們考慮一下，給出數列前幾項后，它的通項公式只有一個嗎？

生：不是。有無數個。

師：這次我們的分組比賽哪組最好啊？（部分學生小聲說都挺好）

生D：我認為把大家的結論合在一起，就最好了！（學生鼓掌表示認同）（增強了團結協作精神）

師：說得很好，我們在今后的學習或工作中，一定要學會分工合作，分享別人的成果和快樂！謝謝大家的合作！

本節課結束后，我進行了教學反思。我覺得數學是很容易創造的一門學科，它實質上是人們常識的系統化。教師不必將各種規則、公式灌輸給學生，而是應該創造合適的條件，提供具體的例子，讓學生在實踐的過程中，自己去發現各種規律。因而我在教學中先提出一個看似簡單卻很有研究價值的問題，激發學生的學習興趣，激發他們的研究熱情，培養學生自主學習能力。針對各個學生數學思維水平的不同，通過適當的啟發，引導學生加強反思，使學生的創造活動由不自覺的狀態發展為有意識的活動。讓合作、創新、探究的理念貫穿于整個課堂，以便更有效地提高課堂教學效率。

我們在教學中應該更加注重培養學生的創新精神和創新能力。這要求教師應首先更新教學觀念，從傳統的應試教育的圈子跳出來，具備明晰而深刻的創新教學理念，具有創新精神和不斷進取精神。傳統的教育觀的基本特點是以知識的傳授為中心，過分強調老師的作用，而新的教育要求在教學中要尊重學生的人格及創造精神，把教學的重心和立足點轉移到引導學生積極主動的“學”上來，引導學生想學、會學、善學。并且我覺得教學的整個過程學生都應該積極參與，教師的任務就是為學生提供廣闊的天地，聽任各種不同的思維、不同的方法自由發展，絕不可以對內容作任何限制，更不應對其發現設置任何預先的圈套。教學環境應當為每個學生提供自由思考的空間，讓學生大膽地想象甚至可以異想天開。因為學生能否自主選擇研究方向和研究方法也是在課堂教學中實現創新教育的關鍵。教師要為學生創設一個愉悅、和諧、民主、寬松的人際環境，要努力以自己對學生的滿腔熱情去引發學生積極的情感反應，營造師生情感交融的氛圍。使學生在輕松、和諧的學習氛圍中產生研究的興趣，積極主動地去探究、發現，從而使學生敢創造，同時迸發出創造思想的火花。教師應在課堂上多為學生創造表現的機會，使學生在自我表現的過程中增強自信，提高創新能力。當然，培養學生的創新精神不是一朝一夕就可以取得明顯成效的，它是一個系統的過程，在教學中必須循序漸進，長期堅持，需要教師在教學中不斷總結經驗教訓，不斷取長補短，改進自己的教學理念和教學方法，以達到為學生服務的目的。

總之，在課堂教學這片土地上，給學生留出一片空地，讓他們自己去耕種，體驗過程的艱辛，從而體會豐收的快樂，收到意想不到的效果。

（作者單位 黑龍江省齊齊哈爾市富拉爾基區一重五中）