數學思想的內涵、價值及教學建議

【摘 要】數學思想作為數學精神的內核，是源于知識和方法，但又高于知識和方法的具有普遍指導意義的科學思想。重視數學思想教學，可以為學生架設通往數學巔峰的云梯。小學數學教材中蘊涵了大量的數學思想，數學教師應該引領學生充分感悟數學思想的力量，領略數學的魅力。

【關鍵詞】數學思想 內涵解讀 教材透視 教學建議

教學有三重境界：第一重境界——授人以魚，基于課本教知識；第二重境界——授人以漁，基于知識教方法；第三重境界——悟其漁識，基于方法教思想。“學如弓弩，才如箭鏃，識以領之，方能中鵠。”這是袁枚在《隨園詩話》中的一段話，十分形象地指出了“魚”“漁”“識”三者之間的關系，也正映射了教學的三重境界。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵其中的數學思想方法。只有重視學生對數學思想的感悟、發現和生成過程，學生才能真正領略數學的魅力。數學思想的內涵究竟是什么？小學數學教材中蘊涵了哪些數學思想？教學中如何讓學生充分感悟數學思想？我結合自己的教學實踐進行初步的闡述。

一、內涵解讀：揭開數學思想的神秘面紗

小學數學教材體系有兩條線索：一是數學知識線，這是寫在教材上的明線；二是數學思想方法線，這是教材編寫的指導思想，也是數學內容所蘊涵的精神實質，它是一條暗線。前者是內容載體，后者是精神實質。數學思想的內涵究竟是什么？不同的數學流派有不同的回答，但對數學思想的精神實質的總體把握還是一致的。數學思想是在對數學內容與方法思考的基礎上升華結晶出來的一種具有普遍指導意義，并能解決處理數學問題的科學思想。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。

數學思想是用數學的思維方式去考慮、處理與解決問題的思維習慣，是人們通過數學活動形成的對數學基本知識和基本問題的一種本質性的看法，數學思想是數學精神和文化的核心，也是一個人數學素養形成的重要標志。數學思想之重要正如日本著名數學教育家米山國藏所說：“學生所學的數學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用……惟有深深銘刻于頭腦中的數學思想和方法等隨時地發生作用，使他們受益終身。”數學思想是學生習得的帶得走、用得上的素養和能力，是指導學生在未來的學習、工作中解決問題的行動指南。

二、教材透視：挖掘數學思想的內容體系及教學建議

張景中院士曾說過：“小學數學很初等，很簡單。盡管簡單，里面卻蘊涵了一些深刻的數學思想。”可以毫不夸張地說，小學數學的每一課都蘊涵著數學思想，有的是顯性的，一目了然；有的是隱性的，需要深入挖掘。

《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》（史寧中主編）指出：數學的基本思想主要是指數學抽象的思想、數學推理的思想、數學建模的思想。由上述基本思想派生、發展出來的下位數學思想還有很多。如由抽象思想派生出的下位數學思想有分類思想、集合思想、符號化思想、對應思想等；由推理思想派生出的有歸納思想、演繹思想、化歸思想、類比思想等；由建模思想派生出的有化簡思想、量化思想、函數思想、方程思想、優化思想等。明確這些數學思想分別蘊涵在哪些知識之中是做好學生數學思想培養工作的基本功。我對蘇教版小學數學教材中蘊涵的數學思想進行了不完全的挖掘與梳理，如下表所示：

下面僅就抽象、推理、模型三種數學基本思想，探究其內容本質，梳理教學應用的途徑。

1.抽象思想及教學應用。

所謂抽象，就是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質的特征。數學抽象主要包括兩個方面：數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象。

例如，教學蘇教版一年級上冊《認識1、2、3、4、5》一課時，我先引導學生在第2頁的圖上找一找有哪些物體。再點一點、數一數。接著讓學生說一說每種物體有幾個，并發散學生的思維，讓學生仿照“一頭大象”說“一***”，并板書出來。然后從一頭大象、一個太陽等抽象出數字“1”，從兩只犀牛、兩棵樹等抽象出數字“2”……

學生認識數的過程，不只是單純認識數字符號，而是一個從具體到抽象的過程，教師應綜合考慮數、數量、數量關系等要素，結合學生學習的特征設計和組織相關內容的教學。“認數”教學中需要注意以下幾點：第一，引導學生看圖感知數量。把看到的數量盡可能地表達出來，建立實物與數量之間的關系，了解實物的個數可以用數量表示。第二，從數量抽象為數。從一頭大象、一個太陽等抽象得到數字“1”，從兩只犀牛、兩棵樹等抽象得到數字“2”，……是從數量到數的抽象。第三，感知數量的多少和數的大小。“比較大小”要完成兩個層次的抽象，一個是比較數量的多少，一個是比較數的大小。比較數量的多少應當是將同樣的東西進行比較，我們不能說4個梨比3個猴子多，只能說4個梨比3個梨多。只有抽象為數的時候，才能比較大小。

2.推理思想及教學應用。

所謂推理，是指從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。在本質上，數學推理分為歸納推理和演繹推理兩大類。歸納推理是命題內涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。通過歸納推理得到的結論是或然的。演繹推理是命題內涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理。小學數學的基本性質、法則、公式、規律等大都是通過探究一類事物的部分對象，來作出有關這一類事物的一般性結論的，這樣的推理是不完全歸納推理。

例如，教學蘇教版四年級下冊《3的倍數的特征》一課時，我給每個學生發了一盒火柴，讓他們在紙上擺出15、23、27、111等數，并填寫實驗記錄單。接著，引導學生分析實驗記錄單，得出初步的數學猜想：火柴棒的根數是3的倍數，擺出的數也是3的倍數，也就是各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。僅僅憑借這四個數還不能完全說明結論的正確性，需要來驗證，于是讓學生自己舉例來驗證剛才的數學猜想是否正確。這一過程是典型的不完全歸納推理。在這一過程中，有實驗，有記錄，有觀察，有分析，有猜想，有例證。這樣從特殊的幾個數經過不完全歸納推理得到一般的數學規律，可以用來解決普遍的此類問題。

3.模型思想及教學應用。

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。張奠宙認為：“廣義地講，數學中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數學模型。如自然數系1、2、3……是描述離散數量的數學模型。”數學模型在小學數學中分布十分廣泛，如數的表示、數的運算、用字母表示公式、統計圖表等。因此，我們應該清醒地知道“建模”“模型”對于數學和數學學習的重要價值。

例如，在蘇教版四年級上冊《找一一間隔規律》一課中，我充分利用書本上的實際問題，以學生喜愛的小兔子曬手帕的情境引入，讓學生先觀察手帕和夾子的排列順序，再讓學生用小棒和圓片把手帕和夾子模擬擺出來，完成建模之前的數學抽象。學生在動手擺的過程中自主發現：1根小棒對應1個圓片，到最后還剩1根小棒沒有圓片做好朋友，所以小棒比圓片多1。進而推理得到這一類問題的數學模型：一一間隔的兩種物體，當兩端物體相同時，中間的物體比兩端的物體少1。這個數學模型是學生在動手操作中、在觀察思考的基礎上自主探究發現的，在練習中我再次創設開放的教學情境，提供給學生自主發現“圓形池塘邊樹木的排列規律”的機會，這也是數學建模中“破模”的過程，使學生對“兩種物體一個隔一個排列”的認識從不封閉直線拓展到封閉曲線的思維層次。在這樣的探究過程中，學生基于已有的數學現實，嘗試將具體問題轉化為數學模型，并通過對實際問題的分析處理，建立起某種特定的數量關系，利用相關的知識使問題得以解決。這么做的最終目的不是建立數學模型，而是要讓學生在解決問題的過程中形成建模思想，感悟數學精神。

數學思想是抽象的，小學生的認知特點是以形象思維為主的。因此，在小學數學課堂上讓學生感悟數學思想，絕不能抽象地講思想，而應注重結合具體的生活情境，引導學生在探索發現數學的過程中感悟與發現數學思想。學生數學思想的感悟與形成需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程。這一過程是從個別到一般、從具體到抽象、從感性到理性、從低級到高級的螺旋上升的過程。在這一過程中，需要我們教師首先做個思想者，不斷豐厚自己的數學思想，同時還要做一個“思想”的點撥者，不斷用我們的數學思想“敲擊”，讓學生在一次次被“敲擊”的過程中，不斷積累、感悟、發現、理解、生成自己的數學思想，直到最后自覺運用數學思想解決實際問題，提升數學素養和實踐能力。■

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省江陰市新橋中心小學）