數(shù)學(xué)感覺的教學(xué)意蘊及實踐詮釋

【摘 要】數(shù)學(xué)感覺是對數(shù)學(xué)研究對象內(nèi)在規(guī)律的整體把握，是直接、簡約和智慧的數(shù)學(xué)印象、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)直覺和經(jīng)驗感覺。數(shù)學(xué)感覺既具有不一定說得清的理性，也包含著某種非理性。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺，要從文化、情感、思維等方面對學(xué)生進行滋養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)感覺 文化 情感 思維

拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離是我的一個重要決斷。學(xué)生憑什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？當然要憑理性的數(shù)學(xué)思維能力和經(jīng)驗，但這不是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一的手段或路徑。“一切知識都從感官的知覺開始”（夸美紐斯），數(shù)學(xué)學(xué)得怎么樣跟有無數(shù)學(xué)感覺密切相關(guān)。亞里士多德說：“心靈沒有意象就永遠不可能思考。”數(shù)學(xué)感覺類似于這種意象，并指向?qū)W生心靈深處那片柔軟的區(qū)間，它豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生命屬性，使數(shù)學(xué)更完整，使人更豐富有力。

一、數(shù)學(xué)感覺的內(nèi)涵特征

（一）數(shù)學(xué)感覺的內(nèi)涵

感覺是客觀事物的個別特性在人腦中引起的反應(yīng)。筆者以為：數(shù)學(xué)感覺是對數(shù)學(xué)研究對象內(nèi)在規(guī)律的整體把握，是直接、簡約和智慧的數(shù)學(xué)印象、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)直覺和經(jīng)驗感覺。它具有不一定說得清的理性，也包含著某種非理性。數(shù)學(xué)感覺充盈著兒童心中柔軟的區(qū)間，豐富著兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生命屬性。數(shù)學(xué)印象強調(diào)了作為感官參與的表征作用。數(shù)學(xué)意識突顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理傾向。數(shù)學(xué)直覺表達了直接、簡約的思維頓悟。而經(jīng)驗感覺則顯現(xiàn)出學(xué)習(xí)者本身的經(jīng)驗基礎(chǔ)和獨特的學(xué)習(xí)視角，數(shù)學(xué)感覺具有能力指向的作用。

通俗點說，兒童的數(shù)學(xué)感覺可以是建立在實物操作基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)表象；可以是簡潔凝練但不一定完整的數(shù)學(xué)術(shù)語，比如“點到對邊的距離是三角形的高”；可以是指向概念、性質(zhì)、定律等的數(shù)學(xué)圖式，比如“3+4=4+3”，“□+○=○+□”，“a+b=b+a”。兒童的數(shù)學(xué)感覺是一種直接、簡約的思維，無需一步一步推理，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的個體理解和表達，是一種幸福的學(xué)習(xí)狀態(tài)，是一種直覺靈動的智慧頓悟。

有三點理解很重要：一是數(shù)學(xué)感覺不等同于數(shù)感。數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運算結(jié)果的估計等方面的直觀感覺。二是數(shù)學(xué)感覺不等同于直覺。數(shù)學(xué)感覺包括數(shù)學(xué)直覺，比直覺的范圍更寬泛。直覺是一種創(chuàng)生的思維和智慧。數(shù)學(xué)感覺包括數(shù)學(xué)印象、經(jīng)驗感覺和直覺智慧等學(xué)習(xí)經(jīng)驗品質(zhì)。三是數(shù)學(xué)感覺有利于建構(gòu)數(shù)學(xué)圖式。建立數(shù)學(xué)圖式是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種實踐方式，是一種知識的呈現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)感覺是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種實踐策略，是一種學(xué)習(xí)的思維路徑和智慧的表達形式，數(shù)學(xué)感覺可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)圖式，并對數(shù)學(xué)進行解釋和應(yīng)用。

（二）數(shù)學(xué)感覺的特征

1.整體認知的表征性。

學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象、概念、規(guī)律等的認識首先是感知的結(jié)果，是對思維對象（數(shù)學(xué)內(nèi)容、結(jié)構(gòu)及關(guān)系）從整體上進行考察，跳過中間步驟，放過個別細節(jié)，調(diào)動自身的知識經(jīng)驗和豐富想象作出的假設(shè)、猜想或判斷，因而具有整體特質(zhì)。

2.形象認知的直覺性。

學(xué)生形象思維豐富的特點，決定了數(shù)學(xué)感覺是指未經(jīng)逐步分析而直接抓住問題的核心，迅速對問題的答案作出合理的猜測、設(shè)想或頓悟。因而，數(shù)學(xué)感覺具有直接性、跳躍性和頓悟性，是創(chuàng)造性思維的重要表現(xiàn)形式。正如數(shù)學(xué)家龐加萊所說：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明。”

3.直接思維的非理性。

理性的思維一般都需要通過邏輯的推理。小學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解有很多感覺性的認知，是一種初級的思維，其具體過程為：觀察、分析→跳躍式的推理→判斷，是憑借大量的知識和經(jīng)驗所產(chǎn)生的結(jié)果，有一定的理性，也包含著無需嚴密邏輯推理的非理性。這和常有學(xué)生遇到完全沒有感覺、無處著手的問題時隨便猜一個答案有著本質(zhì)的區(qū)別。

二、數(shù)學(xué)感覺的實踐滋養(yǎng)

1.指向數(shù)學(xué)感覺的文化滋養(yǎng)。

文化不同，感覺亦不一樣。小學(xué)數(shù)學(xué)的文化滲透應(yīng)當讓學(xué)生去感悟數(shù)學(xué)之美，體驗數(shù)學(xué)探索的過程，領(lǐng)略其背后的文化價值和觀念。不能將其窄化為數(shù)學(xué)史，也不能將其無限泛化指向課堂的一切。

（1）背景滲透：體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的文化精彩。學(xué)習(xí)“負數(shù)”時，可介紹中國古代“糧食入倉為正，出倉為負”的思想；學(xué)習(xí)“等腰直角三角形”時，可介紹古埃及數(shù)學(xué)家法列士利用在陽光下人的影子與身高相等的現(xiàn)象測出金字塔高度的故事；學(xué)習(xí)“圓柱體積的計算”時，可介紹發(fā)明家愛迪生在燈泡殼中灌滿水再將水倒入圓柱形量杯中，從而測出燈泡殼體積的故事。

（2）知識整合：強化數(shù)學(xué)課的文化意蘊。如將圓的認識、圓的周長、圓的面積系統(tǒng)綜合成“走進圓的世界”單元。課時內(nèi)容的重組有助于學(xué)生在新的板塊內(nèi)部進行有意義的發(fā)現(xiàn)和歸納。借助于音樂、美術(shù)、多媒體等解釋“自然中的圓”和欣賞“人文中的圓”，使圓所具有的文化特性浸潤學(xué)生的心田，使其擺脫習(xí)慣思維的陰影，感悟文化意蘊。

2.指向數(shù)學(xué)感覺的情感滋養(yǎng)。

豐富的數(shù)學(xué)感覺體現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感色彩。教師應(yīng)當用富有情趣的言語解釋相關(guān)內(nèi)容，揭示數(shù)學(xué)知識背后隱藏著的人物軼事，將數(shù)學(xué)知識與人的活動聯(lián)系起來，使其產(chǎn)生數(shù)學(xué)親切感。

（1）讓學(xué)生帶著情感去體驗數(shù)學(xué)。富有挑戰(zhàn)性的問題最能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，在潛移默化中改變學(xué)生的思維方式，促進其思維能力的發(fā)展。在教學(xué)蘇教版三下《長方形、正方形的面積》一課之后，教師將一個富有挑戰(zhàn)性的問題擺在學(xué)生面前：靠一面長80米的墻，用100米長的鐵柵欄圍一個停車場，面積不得少于800平方米，可以怎么圍？學(xué)生在積極的研究、探討及多次嘗試中，找到了解決實際問題的多種方法。問題具有挑戰(zhàn)性，學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺被激活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感會更強烈。

（2）關(guān)注學(xué)生情感體驗的變化。行程相遇問題練習(xí)：小龍帶著一條狗去離家18千米的外婆家，每小時行走5千米。同時，爸爸從外婆家回家，每小時行走4千米。這條狗每小時跑8千米，它跑向外婆家，碰到小龍爸爸后，立即返回，碰到小龍后又馬上跑向爸爸，這樣來回地跑。幾小時后小龍和爸爸相遇？這條狗一共跑了多少千米？學(xué)生紛紛回答，直到有學(xué)生說出“8×2=16（千米）”，學(xué)生的情感變化經(jīng)歷了如下過程：無從下手→令人吃驚→不甘示弱→豁然開朗。教師應(yīng)關(guān)注常態(tài)課堂，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生之間的情感體驗差異，合理組織現(xiàn)場資源，放大學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，引導(dǎo)他們感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

3.指向數(shù)學(xué)感覺的思維滋養(yǎng)。

（1）豐富數(shù)學(xué)感覺的直接性思維教學(xué)。中低年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為直接性和圖像化。教學(xué)《認數(shù)》：小明家和冬冬家都在淮海路上。小明家距少年宮3000米，冬冬家距少年宮5000米，他們兩家可能相距多遠？教學(xué)時可以用拉繩子或畫圖的方法：①小明家、冬冬家在少年宮的同側(cè)，5000-3000=2000（米）；②小明家、冬冬家在少年宮的兩側(cè)，5000+3000=8000（米）；③小明家、冬冬家、少年宮不在同一直線上，兩家間的距離在2000米到8000米之間。這種沒有經(jīng)過推理的直接性思維教學(xué)豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺意識。

（2）豐富數(shù)學(xué)感覺的操作性理解教學(xué)。在教學(xué)“三角形任意兩邊的和大于第三邊”時，可安排學(xué)生操作探究：三組小木棒，第一組可以組成三角形，第二組兩根木棒的長度和等于第三根的長度，第三組是兩根木棒的長度和小于第三根的長度。量出各組每根木棒的長度，確定好長度后，讓學(xué)生“用一個等式或不等式來表示三根木棒能否組成三角形”。操作活動有利于深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，激活其操作性思維，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意識。

（3）豐富數(shù)學(xué)感覺的成長性生成教學(xué)。學(xué)習(xí)《圓的周長》一課之后，設(shè)計這樣的問題：假設(shè)在地球赤道上纏一根橡皮筋，同時在一個西瓜的最大橫截面上也纏一根橡皮筋。如果將地球和西瓜的半徑都加長1米，那么纏在地球和西瓜上的橡皮筋都將拉長。哪根橡皮筋被拉長的幅度大？有學(xué)生想象是纏在地球上的橡皮筋拉得長。有學(xué)生感覺需要計算說明。假設(shè)地球半徑為R米，西瓜半徑為r米，經(jīng)過計算，纏在地球和西瓜上的橡皮筋都拉長“2π（R+1）-2πR=2π（r+1）-2πr=2π（米）”。從預(yù)想錯誤到經(jīng)歷正確，從數(shù)學(xué)感覺到數(shù)學(xué)成長，教學(xué)有時要從超越數(shù)學(xué)本身的視角去思考。■

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省淮安市實驗小學(xué)教育集團）