踐行有“過程”的數學

【摘 要】“走向過程的教學”已成為當前教學理念上的一種普遍取向，然而落實到教學實踐層面卻并非如此。作為結果的數學，其呈現的往往是“冰冷的形式”，只有有過程的數學才能體現“火熱的思考”。走向“過程”的教學必須要研究數學學科的特質和學生發展的規律，引導學生由“雙基”走向“四基”，由“兩能”走向“四能”，彰顯數學的特質和意味，促進學生數學素養的發展。

【關鍵詞】知識形成 思維發展 數學建模 思想感悟

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出要處理好四種關系，第一就是“過程與結果的關系”。史寧中教授認為，對過程的忽視，是當下數學教育的一個普遍現象。他說：“知識是什么？是思考的結果、經驗的結果。數學的結果是被‘看’出來的，不是‘證’出來的。有關過程的東西只有通過過程來教。”的確，數學的發現往往基于數學直觀和判斷而不是證明。要“看得出”，需要經驗的積累和思想的支撐，而這些都需要在過程中獲得。

數學是一門思維的科學。作為結果的數學，其呈現的往往是“冰冷的形式”，只有有過程的數學才能體現“火熱的思考”。因此，數學的特質和意味在于過程。教學，是一種過程性的存在。從學生的數學學習和數學素養的發展來看，它并非單純通過接受數學事實來體現的，而更多地需要在數學活動的過程中來實現。

一、經歷知識形成的過程：知識點→知識鏈→知識網

數學知識作為“結果”的呈現，往往只是一種符號，但其背后隱含著豐富的過程。只有在過程中引導學生自己理解才能使他們建構起知識的意義，體會其背后的數學內涵。同時，引導學生經歷知識形成的過程，溝通前后知識的聯系，能夠促進學生體會數學知識內在本質的互通性，有利于其認知結構的形成。

例如蘇教版四下《認識高》一課的教學，前后有認識并會作“三角形的高”“平行四邊形的高”和“梯形的高”三個知識點。在學習“三角形的高”時，我聯系教材所提供的“人字梁”的情境，引導學生理解“高”的概念，并拓展理解每個三角形都有三組對應的“底”和“高”。在學習“平行四邊形的高”時，我引導學生“聯系三角形高的意義，想想什么是平行四邊形的高，嘗試作出平行四邊形的高”。平行四邊形“高”的意義和三角形“高”的意義是相通的。學生自然想到：平行四邊形的“高”是“從一條邊上的一點到它對邊的垂直線段”。同時，學生發現平行四邊形的一條邊可以看作無數個頂點，因此可以作出無數條相等的“高”，這些“高”就是這組對邊之間的距離，體會到同一條底上對應的“高”都相等。同樣，在認識“梯形的高”時，我讓學生聯系三角形和平行四邊形“高”的意義來探索，學生出現了兩種情況：

在此基礎上引導學生辨析：以“腰”作為“底”所作的“高”并不相等，只有以“上底”或“下底”作為“底”所作的高才符合“同一底邊上的高都相等”的特點。因此，“梯形的高”是指“從上底的一點到下底的垂直線段”。此外，我引導學生體會三者之間的聯系：“梯形”實際是把“平行四邊形”的一條邊縮短為“上底”，對應的“高”仍有無數條，“三角形”是把“梯形”的“上底”再縮短到一個“點”，這樣所對應“底”上的“高”只有一條。這樣的教學，基于“高”的意義，溝通了三者之間的聯系，明確了“高”的本質屬性是相同的。同時，又通過圖形的變化，讓學生體會了三者之間的不同，從而由知識點→知識鏈→知識網，完善了學生的認知結構。

二、經歷思維發展的過程：動作表征→圖形表征→符號表征

小學生的思維是從形象思維向抽象思維不斷發展的。數學概念的不斷抽象決定了，教師要引導學生經歷“動作表征→圖形表征→符號表征”的過程。“動作表征”對應思維發展的操作水平，“圖形表征”對應思維發展的表象水平，“符號表征”對應思維發展的分析水平。不同思維層次的提升，體現了數學概括化程度的不斷提高，使數學發現更具一般性和普遍性。在教學中，我們要把握和利用好這樣的契機，促進學生思維的發展。

例如蘇教版五下《公因數和最大公因數》一課的教學中，出示例題“長18厘米，寬12厘米的長方形”后，我首先引導學生進行“動作表征”：用邊長為6厘米或9厘米的正方形鋪，你能發現什么？學生操作后發現：用邊長為6厘米的正方形鋪，正好能夠鋪滿；用邊長為9厘米的正方形鋪則鋪不滿。在此基礎上組織學生討論：為什么有的能鋪滿，有的鋪不滿？從而引出倍數、因數的概念，理解“6”因為既是“18”的因數，又是“12”的因數，所以剛好鋪滿。然后，我引導學生進行“圖形表征”：如果用邊長6厘米的正方形鋪，不用擺，你能不能畫出來，或者在頭腦里想出來？還可以用邊長是幾厘米的正方形也正好能夠鋪滿？引導學生擺脫直接操作，畫出或在頭腦中建立相關的表象，并由此聯想到：分別用邊長是3厘米、2厘米、1厘米的正方形也能鋪滿。最后再引導學生進行“符號表征”：為什么用這些小正方形正好都能鋪滿呢？這里的1、2、3、6和12、18有怎樣的關系呢？引導學生理解：這些數都是18和12公有的因數。

事實上，“公因數”的概念完全可以在“數學的世界”里，通過“符號的重塑、生成和被使用”（弗賴登塔爾語）來建立，教材為什么要引入這樣的情境呢？筆者以為，可以讓學生經歷不斷抽象的過程，在獲得數學知識的同時促進其思維的發展。同時，體會到數學知識應用的情境，培養學生的應用意識。

三、經歷數學建模的過程：生活世界→數學世界→符號世界

“數學模型”是指用數學的方式、方法刻畫現實問題，從而形成解決這類問題的特定“模型”。《課程標準》把“模型思想”列為十個關鍵詞之一，并作為數學的基本思想。因此，我們在平常的數學教學中，要有“模型”的意識，引導學生把“生活問題”上升為“數學問題”，從“現實世界”走向“符號世界”，發展學生的數學素養。

例如蘇教版四下的《搭配的規律》一課的教學，是讓學生用“畫圖”或“列舉”的方法來解決生活中的搭配問題，如拍照問題、通電話問題、寄賀卡問題等。之前，學生已經掌握了用“畫圖”或“列舉”的策略解決問題，本課中學生都能順利地用以上方法解決搭配問題，生成的方法也多種多樣。在交流“3個小朋友互相寄一張賀卡，一共要寄多少張賀卡？”時，錢張豪同學說：“老師，我還有一種方法，直接用‘3×2=6（種）’來解決。”我一愣，教材一般只要求學生用直觀的方法來解決，用乘法來解決對四年級的學生來說比較抽象。但這是讓學生體驗“數學模型”的極好機會，于是我展開了以下的教學：

師：你是怎么想的？

生：因為1個小朋友可以向另外2個小朋友寄賀卡，3個小朋友就要寄3個2，就是3×2=6（種）。

師：其他同學認為怎么樣？

生：這樣算有道理，還可以直接算出結果，比較簡潔。

師：剛才我們都是用畫圖和列舉的方法解決這類問題的。現在錢張豪用乘法來解決，道理上講得通。大家覺得可行且簡潔，那用數學方法還有什么好處？

（沒有學生能講出用數學方法的好處。）

師：如果有100個人相互寄賀卡，大家覺得用“畫圖”和“列舉”的策略怎么樣？

生：太麻煩了。

師：是啊，解決簡單的問題可以用直觀的方法，但解決復雜的問題我們要用到數學的方法。大家想一想，可以怎樣解決“100個人相互寄賀卡”的問題？

…………

其實，“乘法”是解決“搭配問題”的“數學模型”，是解決“搭配問題”最簡便、最普適的一種方法。盡管用乘法解決“搭配問題”還不是四年級的學習要求，但基于“畫圖”和“列舉”的體驗，學生對用數學方法解決問題有了一定的意識或萌芽，這時，只要教師及時去“點破”，學生的數學思維就能自然地生長。

四、經歷思想體驗的過程：掌握方法→體會策略→感悟思想

“方法”是解決某一問題的程序，“策略”是在方法基礎上形成的解決一類問題的程序，而“思想”則體現了方法和策略的精神實質。走向過程的教學，不能滿足于學生能夠掌握方法正確解題，而要體會方法背后的策略意識和數學思想。當然，對數學基本思想的感悟不能脫離具體的方法，而是在具體的知識教學中不斷去反思和提升。

例如蘇教版六上《解決問題的策略（替換）》一課中，例題是“小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？”如果從“掌握方法”的角度來教學，只需要讓學生掌握“怎樣替換”：把大杯換成小杯或者把小杯換成大杯，再利用數量間的關系算出答案即可；如果從“體會策略”的角度來教學，則要讓學生通過解決同類的多個問題，體會到“這一類問題有什么特點”“我是怎樣解決這一類問題的”；如果要達到“感悟思想”的層次，就需要讓學生體會“為什么要替換”，即替換的數學本質，也就是“轉化”的數學思想——把不同類量轉化為同類量，轉化前后數量間是“守恒”的，而“替換”只是實現這種轉化的一種方法，我們學過的很多數學知識都體現了“轉化”的數學思想。

可見，同樣是“教數學”，學生同樣獲得了相同的數學知識，但不同的教法，學生的發展是不同的。“走向過程的數學”不僅關注學生對“顯性雙基”的掌握，更關注其“隱性雙基”的形成，重視學生數學素養的發展。“走向過程”不僅應該成為我們教學理念的不斷追求，更應該成為課堂實踐的常態呈現。■

（作者單位：江蘇省常熟市實驗小學）