計算課：“法”與“理”的世界

弗賴登塔爾認為知識有兩類：程序性知識和思辨性知識。而計算規則顯然屬于前者，它的特點是行易知難，也就是做起來容易，懂得其道理難。因此在教學中通常會出現輕算理重算法的現象，筆者認為這是不可取的。雖然學生知算理（尤其是由形式理解算理）有一定的難度，但算理能幫助學生形成計算技能。其實算理與算法本是有機統一的整體，重算法必須重算理，重算理也要重算法，實現算理與算法的融會貫通。

一、明算理引算法

案例一：小數加減法

出示情境圖，說明商品的價格。

師：3個小朋友各買了什么？你能提出用加法或減法計算的問題嗎？

生：小明和小麗共用了多少元？

列式：3.4+4.75。（板書：4.75+3.4）

生：小明比小麗多用了多少元？

列式：4.75-3.4。

生：小明和小芳一共用了多少錢？

列式：4.75+2.65。

生：小明比小芳多用了多少錢？

列式：4.75-2.65。

師：這節課我們就來學習小數的加法和減法。估算4.75+3.4大約等于多少？

生：大約是8。

師：你怎么想的？

生：4+3=7，7+4需要進位。

師：8的單位名稱是什么？

生：元。

師：怎么得到8元的？要求只列式不計算。這樣列式可以嗎？（有4位學生這樣列式）

板書：

生：可以。

師：為什么？

生：數位對齊。

生：整數部分對應著整數部分，小數部分對應著小數部分。

師：結合剛才兩位同學的發言，你能得出什么結論？

生齊：相同數位對齊！

師：怎樣才能做到相同數位對齊？

生：當相同數位對齊時小數點也會對齊。

師：你準備從哪個位算起？

生：從百分位算起。

師：也就是從低位算起。

小結：小數中小數點對齊就是為了使相同數位對齊，然后再從低位算起。

評析：本案例是小數加減法的計算課，其計算方法是相同數位對齊（即小數點對齊），其算理是只有計數單位相同的才能直接相加減。本節課的教學重點是小數加減的計算方法，難點是理解算理，如何結合算理與算法正確計算？在教者的適時引導下，學生利用元角分對位相加的算法，將零散而模糊的思緒逐漸演變成算法“相同數位對齊”、“從低位算起”。至此，小數加法的算理與算法都完整地呈現在學生眼前，學生們循“理”入“法”，順利學習新知。

二、以算理馭算法

案例二：小數乘法（二）

師出示情境圖，看圖提出問題。

生1：臥室的面積有多大？

生2：陽臺的面積有多大？

生3：臥室和書房有多大？

師：首先解決臥室面積有多大。

生：3.6×2.8。

師：你能估算嗎？

生：4×3=12。

師：算出的數比12大還是小？（小）還可以怎么估？

生：3×2=6。

生：結果應在6～12之間。

學生列豎式計算，說明對齊方法是末尾對齊，這時出現了10.08和100.8兩種答案。

師：哪個估算結果正確呢？積究竟是一位小數，還是兩位小數。

生：每個數都擴大10倍，積就擴大100倍，要想得到正確的積，就要除以100，也就是把小數點向左移動兩位。

生：3.6米等于36分米，2.8米等于28分米，算出的積是1008平方分米，也就是10.08平方米。

小結：利用積的變化規律把小數乘小數轉化為整數乘整數，再把積變成小數。

師：變成整數后，乘得的積是原來積的100倍，再把積除以100，算出原來的積。陽臺面積是多少？

列式：2.8×1.15。

師：你打算怎么計算？

生：看成28×115。

反饋：2.8×1.15=3.22（平方米）。

師：你是怎么思考的？

生：1.15看成115乘100，2.8看成28乘10，相當于積乘1000。

小結：積擴大1000倍，要想得到原來的積，就要除以1000，也就是把積的小數點從右往左移動三位。

練習：在下面各題的積中點上小數點。

8.7×0.9=783 72.9×0.04=2916 16.5×0.6=990

重點觀察第2小題，第一個因數是一位小數，第二個因數是兩位小數，積就是三位小數。

討論：小數乘小數應該怎樣計算？

生：看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。

小結：小數乘小數，先看成整數乘整數來計算，再看兩個因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。

評析：本案例中無論是估算結果，還是從米與分米、平方米與平方分米的進率，或從積的變化規律來解釋結果的正確性，無不在用算理駕馭著算法。因為兩個因數先乘多少，還原成原來的積還要除以多少（算理），所以才有了“小數乘小數，先看成整數乘整數來計算，再看兩個因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點”這一計算方法。換言之，“法”以“理”為據，在理解了算理的基礎上，掌握算法就成為易事，而且幫助學生實現了意義建構，便于學生融會貫通。

三、隱算理強算法

案例三：《小數加減法》的練習片段

試做4.75-3.4，指名板演。

師：說說你的做法。

生：在3.4后先添上0，這樣容易看出相同數位對齊，從低位減起。

學生練習：4.75+2.65，4.75-2.65。

討論：小數加減法與整數加減法的異同。

生：都要相同數位對齊，從低位算起。

師：有什么注意點？

生：注意小數點對齊，得數末尾有0的要化簡。

練習：24+9.9。

有一個學生說24末尾先添0，添上小數點，再計算比較方便。（為小數減法退位的情況作好鋪墊）

評析：計算課的最終目的是培養學生的運算能力。在有限的課堂學習時間內，為達成這一最終目標，大多數教師會在鞏固練習期間選擇隱算理強算法，用足課內時間強化算法。當然也會對部分學生易錯或有疑惑的習題通過回顧算理的方法解釋算法的正確性。這也與程序性知識“行易知難”的特征密切相關，總有學生會計算但卻很難表達出算理。當然，在隱算理的過程中要注意把握算理與算法的平衡點，否則“理”被隱得太深，當教者想要挖掘時已經難以找尋了。隱只是暫時的，它也可以隱于思維之中，但最終還是要通過對算法的熟練掌握實現對算理的“形式理解”。

數學計算課，無論是明算理引算法，還是以算理馭算法，或是隱算理強算法，均表明計算課是算理與算法的完美結合，“法”和“理”本為一體，在技能未形成時，理是顯性的，是法的導航明燈；當技能形成之時，理則悄然隱身，藏于法中。在法與理的世界中，學生易于構建知識體系，擁有“運算能力”。■

（作者單位：江蘇省無錫市稻香實驗小學）