解決圖形運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題的途徑

2013-04-12 00:00:00陳建明

師道·教研 2013年1期

探索圖形的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，首先要有對(duì)幾何元素的運(yùn)動(dòng)過(guò)程有一個(gè)完整、清晰的認(rèn)識(shí)，不管它是點(diǎn)動(dòng)、線(xiàn)動(dòng)還是面動(dòng)；其次，要善于借助動(dòng)態(tài)思維的觀點(diǎn)來(lái)分析，不被“動(dòng)”所迷惑，從特殊情形入手，在變中求不變，動(dòng)中取靜，抓住靜的瞬間，以靜制動(dòng)，把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問(wèn)題來(lái)解決.具體來(lái)說(shuō)，就是抓住“動(dòng)”與“靜”之間的聯(lián)系，理清運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的各個(gè)變量之間的各種關(guān)系，如數(shù)量關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、位置關(guān)系等，從中找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，從而找到了解決這類(lèi)問(wèn)題的途徑.

一、以靜制動(dòng)，以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”

“動(dòng)”與“靜”是一對(duì)相反的物理量，但又相輔相成，即動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng).探索圖形的運(yùn)動(dòng)變化中，尋找變化過(guò)程中的不變因素，利用這些不變因素，以靜制動(dòng)，常能出奇制勝，解決變化中的問(wèn)題.

例：如圖所示，一根長(zhǎng)2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P.若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行.（1）請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由.（2）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值.

分析：線(xiàn)段AB在滑動(dòng)過(guò)程中只是改變了位置，而大小并未變；盡管點(diǎn)P的位置發(fā)生變化，但是中線(xiàn)OP的長(zhǎng)在滑動(dòng)過(guò)程并沒(méi)有改變，這就是變中的“不變”.抓住這個(gè)不變因素，問(wèn)題就不難解決了.對(duì)于（1），因?yàn)樵谥苯侨切沃?，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊上的一半，而斜邊AB不變，所以斜邊上的中線(xiàn)OP不變. 對(duì)于（2），當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線(xiàn)OP時(shí)， △AOB的面積最大，如圖，若h與OP不相等，則總有h

二、動(dòng)中取“靜”，分類(lèi)討論

一個(gè)圖形與另一圖形的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)圖形的重疊，并且重疊部分的形狀往往隨著圖形運(yùn)動(dòng)而變化.這時(shí)，只要?jiǎng)又腥　办o”――某時(shí)刻重疊部分的形狀，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考與探索，問(wèn)題往往就會(huì)迎刃而解.

例：如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線(xiàn)上，AD∥BC，AB⊥BC于點(diǎn)B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時(shí)停止移動(dòng).設(shè)梯形與正方形重疊部分的面積為S.（1）設(shè)直角梯形ABCD的頂點(diǎn)C向右移動(dòng)的距離為x，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)直角梯形ABCD向右移動(dòng)時(shí)，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯形ABCD面積的一半？若能，請(qǐng)求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：對(duì)于（1）可以先根據(jù)正方形與梯形面積相等可以求出正方形的邊長(zhǎng).畫(huà)圖分析兩個(gè)圖形在相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)兩種重疊部分是三角形，梯形兩種情況，只須找出他們的臨界點(diǎn)，分別畫(huà)出兩種情況下圖形，進(jìn)而根據(jù)面積公式求出解析式.

解：（1）S正方形EFGC=S梯形ABCD■（4+8）×6=36.

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，

∴x2=36.

∴x1=6，

x2=-6（不合題意，舍去）.

∴正方形的邊長(zhǎng)為6.

分兩種情況：

①當(dāng)0≤x<4時(shí)，重疊部分為△MCN.

過(guò)D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN，

∴■=■，HN=BN-AD=8-4=4

∴■=■ ∴MC=■x

∴S=■CN·CM=■x·■x