解決圖形運動變化問題的途徑

探索圖形的運動變化問題，首先要有對幾何元素的運動過程有一個完整、清晰的認識，不管它是點動、線動還是面動；其次，要善于借助動態思維的觀點來分析，不被“動”所迷惑，從特殊情形入手，在變中求不變，動中取靜，抓住靜的瞬間，以靜制動，把動態的問題轉化為靜態的問題來解決.具體來說，就是抓住“動”與“靜”之間的聯系，理清運動變化過程中的各個變量之間的各種關系，如數量關系、函數關系、位置關系等，從中找到解決問題的切入點，從而找到了解決這類問題的途徑.

一、以靜制動，以“不變”應“萬變”

“動”與“靜”是一對相反的物理量，但又相輔相成，即動中有靜，靜中有動.探索圖形的運動變化中，尋找變化過程中的不變因素，利用這些不變因素，以靜制動，常能出奇制勝，解決變化中的問題.

例：如圖所示，一根長2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設木棍的中點為P.若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行.（1）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由.（2）在木棍滑動的過程中，當滑動到什么位置時，的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值.

分析：線段AB在滑動過程中只是改變了位置，而大小并未變；盡管點P的位置發生變化，但是中線OP的長在滑動過程并沒有改變，這就是變中的“不變”.抓住這個不變因素，問題就不難解決了.對于（1），因為在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊上的一半，而斜邊AB不變，所以斜邊上的中線OP不變. 對于（2），當△AOB的斜邊上的高h等于中線OP時， △AOB的面積最大，如圖，若h與OP不相等，則總有h

二、動中取“靜”，分類討論

一個圖形與另一圖形的相對運動過程中出現圖形的重疊，并且重疊部分的形狀往往隨著圖形運動而變化.這時，只要動中取“靜”――某時刻重疊部分的形狀，對問題進行思考與探索，問題往往就會迎刃而解.

例：如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線上，AD∥BC，AB⊥BC于點B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動，當點C與點G重合時停止移動.設梯形與正方形重疊部分的面積為S.（1）設直角梯形ABCD的頂點C向右移動的距離為x，求S與x的函數關系式；（2）當直角梯形ABCD向右移動時，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯形ABCD面積的一半？若能，請求出此時運動的距離x的值；若不能，請說明理由.

分析：對于（1）可以先根據正方形與梯形面積相等可以求出正方形的邊長.畫圖分析兩個圖形在相對運動過程中會出現兩種重疊部分是三角形，梯形兩種情況，只須找出他們的臨界點，分別畫出兩種情況下圖形，進而根據面積公式求出解析式.

解：（1）S正方形EFGC=S梯形ABCD■（4+8）×6=36.

設正方形邊長為x，

∴x2=36.

∴x1=6，

x2=-6（不合題意，舍去）.

∴正方形的邊長為6.

分兩種情況：

①當0≤x<4時，重疊部分為△MCN.

過D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN，

∴■=■，HN=BN-AD=8-4=4

∴■=■ ∴MC=■x

∴S=■CN·CM=■x·■x

∴ S=■x2

②當4≤x≤6時，重疊部分為直角梯形ECND.

S=■[4-（8-x）+x]×6

∴S=6x-12.

責任編輯 羅 峰