利用數學原理求函數的最值問題

在中學數學的教學中，經常遇到求函數最值的問題，所謂最值是指在某區間內的最大值或最小值，即：一般地，設函數y=f（x） 的定義域為I，如果存在實數M，①對任意x∈I，f（x）≤M；②存在x0∈I， f（x0）=M，稱M為f（x）的最大值，若存在實數N，滿足x∈I，f（x）≥N，存在x0，f（x0）=N，則稱N為f（x）的最小值.下面談談利用數學原理求函數的最值問題.

一、利用二次函數圖像的性質及最值的概念求最值

例：設f（x）=-x2+4xSinθ，x∈[-1，1]，其中-π/2≤θ≤π/2，求函數f（x）的最值.

分析：因為函數f（x）=-x2+4xSinθ，自變量x，在[-1，1]范圍內，而角θ∈[-π/2，π/2]；x2的系數為-1，因此，f（x）=-x2+4xSinθ為二次函數.其圖像為拋物線.又因為x2項系數為-1，小于1，所以f（x）的圖像為拋物線且開口向下.所以f（x）在區間[-1，1 ]內有最大值.

解：∵f（x）=-x2+4xSinθ

=-（x-2Sinθ）2+4Sin2θ（x∈R）

∴f（x）的圖像為開口向下的拋物線，頂點坐標（2Sinθ，4Sin2θ）

∵x∈[-1，1]

∴當2Sinθ=-1，得θ=-π/6

當2Sinθ=1， 得θ=π/6

即當θ∈（-π/6，π/6）時，f（x）的最大值是4Sin2θ

當θ∈[-π/2，-π/6 ]，因為拋物線開口向下，且拋物線頂點在直線x=-1左側（或在x=-1上）

因此，當x=-1時，f（x）達到最大值f（-1）.

f（-1）=-（-1）2+4（-1）Sinθ

=-1-4Sinθ

同理，當θ∈[π/6，π/2]時，f（x）最大值f（1）

f（1）=-（+1）2+4×1×Sinθ= -1+4 Sinθ

∴根據函數f（x）=-x2+4xSinθ，x∈[-1，1]，-π/2≤θ≤π/2的圖像可求f（x）的最大值=

4Sin■θ，θ∈[-■，■]-1-4Sinθ，θ∈[-■，■]1+4Sinθ，θ∈[■，■]

二、利用配方法及不等式的意義求最值

例：已知x、y∈R，求y=x+2+■的最大值和最小值.

分析：求函數y=x+2+■的最大值和最小值，只要把y=x+2+■配方為：

y=x+2+■，再把■=■的右邊看作在直角三角形 Rt△ABC中，斜邊■，直角邊x+2的關系（如圖1），令∠B=θ，Sinθ=■，x+2=■Sinθ，所以y=x+2+■就可以轉化三角函數的表達式：y= ■Sinθ+■=■Sinθ+■Cosθ=■Sin（θ+■）.最后根據

Sin（θ+■）的最值和不等式的意義便可求出原函數的最值了.

解：∵x、y∈R

y=x+2+■

=x+2+■

=x+2+■

又∵■、（x+2）可看作 Rt△ABC中的斜邊及直角邊，設∠B=θ

∴Sinθ=■

x+2=■Sinθ

∴y=x+2+■

=■Sinθ+■

=■Sinθ+■Cosθ （θ為銳角）

=■（Sinθ·■+Cosθ·■）

=■Sin（θ+■）

∵-■≤θ≤■

-■≤θ+■≤■

∴-■≤Sin（θ+■）≤1

∴-■≤■Sin（θ+■）≤■

∴-■≤x+2+■≤■

∴函數y的最大值為■，最小值為-■

∴y的最大值為■，最小值為-■.

三、利用（a-b）2≥0，a·b為實數及不等式的意義求最值

例：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P、Q分別在邊AB、AC上移動，且線段PQ把△ABC分為面積相等的兩部分，求線段PQ的長度的最小值.

分析：由于PQ把△ABC分為面積相等的兩個部分，△APQ和四邊形PQCB，由已知：∵S△APQ=S四邊形PQCB

∴■AP·AQ·SinA=■·■BC·AC

∴AP·AQ·SinA=■BC·AC

AP·AQ=■BC·AC·■= ■×3×4×■=10

又∵在Rt△ABC中：SinA=■=■=■=■

CosA=■=■=■=■

又∵（AP-AQ）2≥0 （∵AP·AQ∈R）

∴AP2+AQ2≥2AP·AQ

又∵在△APQ中，由

PQ2=AP2+AQ2-2AP·AQ·CosA≥2AP·AQ-2AP·AQ·CosA

=2（1-CosA）AP·AQ

=2（1-■）×10

=4

∴PQ≥2

根據利用最值的意義，可見線段PQ的最小值為2.

解：略.

四、利用基本不等式“正數的算術平均值不小于幾何平均值”及最值的意義求最值

例：在半徑為R的球內作一內接圓錐，求圓錐的最大體積.

分析：此題為求圓錐的最大體積，也就是求內接圓錐體積的最大值問題.

設內接圓錐的高為h，底半徑r，體積為V，如圖3.

則：V=■πr2h

=■πr2（R+■）

令r=R·Cosθ，其中0<θ<■

于是：V=■πr2（R+■）

=■πr2（R+R·Sinθ）

=■π·R2Cos2θ·R（1+Sinθ）

=■πR3（1-Sin2θ）（1+Sinθ）

=■πR3（1-Sinθ）（1+Sinθ）（1+Sinθ）

1-Sinθ、1+Sinθ都為正數，因此根據函數的算術平均值不小于幾何平均值的原理可得：

V=■πR3（1-Sinθ）（1+Sinθ）（1+Sinθ）

=■πR3[2（1-Sinθ）·（1+Sinθ）·（1+Sinθ）]

≤■πR3（■）3

=■πR3·■

=■R 3·■

=■πR3

即V≤■πR3

根據最值的意義可確定體積V的最大值為■πR■

解：略.

以上案例都是利用了數學的原理來求不同函數的最值問題.除此之外，只要我們認真研究、深入挖掘，定能找出更多、更好的利用數學原理的方法，來求函數的最值.因此，在求解函數最值問題上，只要我們積極思考、努力研究，定會更好地幫助學生開拓思維、擴大思路，也定會更好地幫助學生開拓進取，提高解決問題的能力之作用.

責任編輯 羅 峰