圓錐曲線離心率的解法

本文以解析幾何的幾何本質為視角，首先找到了圓錐曲線的一種特征三角形，進而探求一種求圓錐曲線離心率的幾何解法，對于焦點在x軸上的橢圓：e=cosα，α是橢圓短軸端點和一個焦點連線與長軸的夾角；對于焦點在x軸上的雙曲線，有三個計算公式：公式一：e=■，其中θ為漸近線與實軸的夾角；公式二：e=■，其中k為當焦點在x軸上時漸近線的斜率；公式三：e=■■.

分析近20年來的廣東高考題，發現圓錐曲線在高考題中主要有兩大題，一個是選擇題，主要是求離心率；一個是解答題，往往用基本公式e=■來解決三個參量之間的關系，最終為解圓錐曲線的方程服務.而選擇題中求離心率是比較難的，往往都是把關題.這也是學生最懼怕的一題，本人從多年的教學中思考，總結了一點計算離心率的方法，以供同行參考.

對于焦點在x軸上的橢圓，設短軸的一個端點為B，一個焦點為F，連結BF，因為OF =c，OB =b，則由勾股定理得BF =a，由于△BOF中三邊能反映橢圓的三個參量，我們把△BOF稱為橢圓的特征三角形.設∠BFO=a，則cosα=■=e，因此：e=cosα.

如圖，根據雙曲線的一個焦點為F到一條漸近線的距離為這一結論，我們把△OFM 稱為雙曲線的特征三角形，設∠MOF=θ，cosθ=■=■，

所以得：e=■（其中θ也可看作是漸近線與x軸的夾角或者是該漸近線的傾斜角）.

另外，還可進一步推出：e=■=■=■=■ .

因此我們可以得出：公式一：e=■；公式二：e=■；公式三：e=■.

例1：已知橢圓■+■=1，兩短軸的端點分別為B1、B2，△B1 F B2等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（ ）

解：e=cos45°=■

說明：如果此題從求離心率的基本公式出發來計算，可以說會有一定的困難，因為學生容易去想辦法如何把a、c解出來，但似乎條件不夠，如果學生能意識到離心率是一個比值，也可以通過a、b、c三者的關系求出e，但都沒有這種求離心率公式來得快.

例2：已知橢圓■+■=1，離心率為■，則短軸的一個端點為B，兩焦點為F1、F2，則∠F1BF2=（ ）

解：由e=cosα=■得α=30°，所以∠F1BF2=2（90°-30°）=120°

說明：此題是橢圓離心率公式e=cosα的逆向應用，如果不知道這個公式，可以說很難這么快地加以解決.

例3： 已知一條斜率為2的直線l與雙曲線■-■=1相交于A、B兩點，其中點M（2，3），則雙曲線的離心率e 為（ ）

A. ■ B. ■

C. ■ D. 2

分析：此題從字面上看好像一道很生僻的題目，條件和要求的結果似乎一點聯系都沒有，但從逆向思維出發考慮，本題沒有漸近線，只能用公式三e=■來解題了.

解：設A（x1，y1）、B（x2，y2），則：x1+x2=4，y1+y2=6，■=4，

則■-■=1 ① ■-■=1 ②

①-② 得：■-■=0

即：■=■

化簡得：■=■=2×■=3，所以e=■=■=2

雖然高考中出的難題是為了考察學生的綜合運用知識的能力，以及創新能力，而這種能力其實貴在平時的培養和運用，在有限的120分鐘內，學生的創新能力往往被抑制，所以需要教師在平時上課過程中善于培養學生的創新能力以及探索能力，并引導他們進行總結，歸納，也只有這樣，學生在遇到新題時才能結合平時的總結進行創新！

責任編輯 羅 峰