數(shù)形結(jié)合的思想及應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀.數(shù)形結(jié)合通常分為以形解數(shù)和以數(shù)解形.

一、以形解數(shù)

“以形解數(shù)”是把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，經(jīng)過觀察和證明，得到相關(guān)的幾何結(jié)論，從而解決代數(shù)問題.

1.用坐標(biāo)法解決代數(shù)問題

坐標(biāo)法是通過選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)問題解決的解題方法.

例：如果實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）2+y2=3，則■的最大值為（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：待解問題■=■具有直線斜率的形式，可把它看成過定點(diǎn)（0，0）和動(dòng)點(diǎn)（x，y）的直線斜率k，而x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，其幾何意義就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為圓心，■為半徑的圓，借助圖形可得k的最大值.

解：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)p（x，y），其中x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，因而p（x，y）是以A（2，0）為圓心，■為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)（如圖）.過定點(diǎn)（0，0）和動(dòng)點(diǎn)（x，y）的直線斜率k=■.從上圖容易看出，當(dāng)直線OP與A的上半圓相切時(shí)， k可取最大值.設(shè)相應(yīng)的切點(diǎn)為B， 則kmax=■=■=■. 故選D.

2.用圖解法解決代數(shù)問題

圖解法是對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)膸缀谓忉專汛鷶?shù)或三角問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，再利用幾何和函數(shù)的圖像的知識(shí)實(shí)現(xiàn)的代數(shù)、三角問題解決的方法.

例：方程x2+x+a-1=0在區(qū)間（-2，2）有2個(gè)不等根，求a的取值范圍.

分析： 方程可變形為-x2-x+1=a，設(shè)f（x）=-x2-x+1（-2

解：方程變形為-x2-x+1=a，設(shè)f（x）=-x2-x+1（-2

二、以數(shù)解形

“以數(shù)解形”是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，經(jīng)過計(jì)算和推理，得到相關(guān)的代數(shù)結(jié)論，從而解決幾何問題.

例：如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)C任作一直線與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于E、F.求證：AE+AF？叟4AB.

分析：這是“形”的問題，但要直接從“形”入手會(huì)很棘手.若將結(jié)論變?yōu)椋ˋE+AF）2-4AB（AE+AF）？叟0，再從此式的形式上看，聯(lián)想起一元二次方程根的判別式，從而把“形”的問題轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的問題來解決.

證：設(shè)AB=a，AE=m，AF=n，連結(jié)AC.則S△AEF=S△AEC+S△AFC，即■mn=■am+■an，∴mn=a（m+n），設(shè)m+n=p，則mn=ap，所以m、n是方程x2-px+ap=0的兩根，而m、n為實(shí)數(shù)，故Δ=p2-4ap？叟0，又p>0，∴p？叟4a，即AE+AF？叟4AB.

我們往往對(duì)某些從正面直接求解比較困難的數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，使問題更加清晰，解題過程更加明確，以達(dá)到求新、簡(jiǎn)捷的效果.在利用代數(shù)解幾何問題或利用幾何解代數(shù)問題時(shí)，有機(jī)地把兩者結(jié)合起來，往往會(huì)達(dá)到事半功倍.

責(zé)任編輯 羅 峰