基于Duffing—Holms模型序參量的混沌模型和控制方式分析

摘要：本研究旨在探討基于Duffing-Holms模型序參量的混沌模型及其控制方式，在簡要介紹基于Duffing-Holms模型特定序參量設置的混動模型的前提下，分別從變量反饋控制方式和參數微擾控制方式等兩個方面，對混沌模型的控制方式進行了詳細闡述，希望通過分析和探究，能夠為廣大工作人員實現對系統的有效控制提供參考和幫助。

關鍵詞：Duffing-Holms；混沌模型；控制方式

隨著非線性動力學研究的不斷深入，使得混沌控制成為了近年來人們所關注及研究的熱點之一。通過將系統的混沌特性加以抑制、壓縮或轉化，能夠有效將系統的整體性能控制在最佳狀態，即讓系統從混沌運動轉化為低周期運動，從而預防和減少系統失控甚至徹底崩潰的情況發生。本研究擬結合基于Duffing-Holms模型序參量的混沌模型仿真設計及其控制方式進行探討，具體分析如下。

一、基于Duffing-Holms模型序參量的混沌模型

在經典力學當中，Duffing-Holms模型作為具有擺動的非線性方程，同時還具有混沌現象的典型特征。一般認為Duffing-Holms模型的基本形式是：[x+p1xp2x+p3x3=qcos（ωt）]

其中， x表示系統的狀態；[x]表示系統變化的加速度；p1表示阻尼系數；q cos（ωt）表示系統外力項；ω表示外力項頻率；p1、p3和q一般大于0，p2<0（p2取-1）。為方便對本模型系統進行分析，并實現降價的目的，可以按照以下方式描述系統：

假設各參數取值分別為：p1=0.154， p2=-1，p3=4， ω=1.1，q=0.034，同時系統初始值取x1（0）=0，x2（0）= ε（ε是一個計算機可識別的極小常數，為10-10），由此可推斷出系統處于周期振蕩狀態，見圖1。

由此可知，在頻率ω不變的情況下，模型系統的特性會隨著系統外力q cos（ωt）的外力系數q的改變而發生明顯變化。當q取值0.088時，系統處于臨界狀態，此時系統由周期振蕩模型轉為混沌模型。

二、基于Duffing-Holms模型的混沌控制方式

（一）變量反饋控制方式

在外力參數q取值0.088時，系統表現為混沌模型。此時可通過引入合適的反饋變量來實現對系統混沌的控制。例如在（1）式中引入反饋項-kx1，那么可得到：

設置k=0.06，且其他參數保持不變，此時可實現對混沌模型的控制，并轉化為周期振蕩狀態。見圖3。

由上述分析可知，通過引入合適的反饋變量-kx1，并對其反饋系數k進行調節，實現對混沌模型的特性的控制，將其轉化為周期振蕩狀態。

（二）參數微擾控制方式

基于Duffing-Holms模型序參量的混沌模型，除了可以通過變量反饋法加以控制，以及自適應控制方式、外力反饋控制方式和延時反饋控制方式等，對系統參數隨時間的連續微擾進行控制之外，還可通過參數共振微擾的方式來進行控制。

考慮到混沌模型受參數變化的影響較為劇烈，以及Duffing-Holms模型當中的x13的倍增性質，本研究將參數p3設置為p3（1+c cosΩt），其中，c表示參數微擾幅度；Ω表示微擾頻率。在微擾頻率Ω和外力項頻率ω產生共振的過程中，基于Duffing-Holms模型序參量的混沌模型的相關特性會被抑制，同時也可讓該模型回到期望的周期振蕩狀態。此時（1）式可重新表達如下：

三、結束語

本研究通過利用變量反饋方法和參數微擾方法對基于Duffing-Holms模型序參量的混沌模型進行控制，可以看出，變量反饋方法只需要引入并調節反饋系數k，便可實現對混沌模型的特性的控制，甚至將其轉化為周期振蕩狀態；而參數微擾方法則可通過外力項頻率和微擾頻率的共振，來改善混沌模型，并使其能夠達到所期望的特性。在實際生活當中，可將該模型廣泛應用于金融市場，并通過變量反饋方法和參數微擾方法來實現對系統的有效控制，以確保系統的穩定和可靠。

參考文獻：

[1]馬超群，鄒琳，李紅權.股票市場的非線性結構與混沌效應檢驗：基于BDS方法與CR方法[J].湖南大學學報，2008（5）

[2]朱少平，楊殿學.一類金融混沌系統的線性反饋控制[J].統計與信息論壇，2009（12）

作者簡介：

趙海蕾（1975.1- ），女，漢族，江蘇鎮江人，講師，江南大學商學院國際貿易學碩士，主要從事金融市場與金融工程研究。