淺議數形結合思想在數學教學中的運用

《義務教育數學新課程（2011年版）》把“兩基”增加到“四基”，我們感受到數學的“基本思想”受得了空前的重視。數形結合思想是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想方法。以形助數、以數輔形，利用數形結合能使“數”和“形”統一起來，可以使許多數學問題變得簡易化。它是數學中最重要、最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。教學實踐表明，在數學教學中滲透數形結合思想，可以使復雜問題簡單化、抽象問題簡單化、零散問題結構化，從而有助于發展學生的思維能力，提高學生的數學素養。那么，在數學教學中數形結合思想有哪些運用呢？

一、理解數形結合思想的意義，加強數形結合思想的滲透

《課標》（2011年版）把“數學思想”作為“四基”之一，而數學思想的核心是數學本質，如何揭示數學的本質呢？主要應闡述知識之間的內在聯系、規律的發現過程、數學思想方法的滲透、理性知識的應用等有理有據地發現規律，并應用發現的規律解決實際問題。為此，教師要鉆研教材要，把教材中有內涵的內容充分發掘出來，引導學生從圖中讀懂重要信息，然后提出問題和解決問題。注意加強數形結合思想的滲透，關注學生數形結合思維能力的提高，從而培養圖形與空間觀念的認知能力。例如，二年級時學習用第幾排第幾個來確定一個點的位置，到了高年級，學習用數對來確定一個點的位置。將平面圖轉化為形象的“直角坐標系”，一個“數對”對應平面上的一個“點”，學生初步體會到“數”與“形”之間的相互轉化。在學習“正、反比例關系”時，通過師生共同探究發現：把正比例關系的式子畫在坐標系中的圖是一條直線；把表示反比例關系的式子畫在坐標系中的圖形是一條曲線。這樣，教師借助坐標系這個抽象的“形”，幫助學生深入理解平面上“數”代表的具體位置。這樣學生對坐標系有了更為直觀清楚的認識，從而為學生初中時學習函數做了良好的知識儲備。如在講授異分母分數加減法時，可以利用多媒體技術或是其他途徑（如尺規作圖），把一個圓幾等分，讓學生更易理解。例如計算：1/2+1/4=____（把圓四等份，表示出1/2與1/4），然后把1/2轉化成2/4，2/4+1/4=3/4，教師利用數形結合講解這個片段，讓學生體會和感受“通分”的必要性，容易理解異分母加減法的算法，很好化解了教學與學習中的難點。

二、“以形助數”，利用圖形來解決計算中的一些問題

小學數學內容中，有相當部分的內容是計算問題，計算法則很抽象，只憑教師的言傳說教所起到的效果甚微，而“形”具有形象、直觀的優點，教師在教學過程中借助圖形的直觀性可以將抽象的數學運算形象化、簡單化，給學生以直觀感，讓學生以多種感官充分感知，在形成表象的基礎上理解數學的本質，解決數學問題，形成數學思想的目的。如學長方形周長公式的時候，就讓學生借助圖形充分理解公式的含義，求長方形周長大體有三種方法：一種按順序長+寬+長+寬，第二種兩個長加兩個寬，第三種長與寬和的兩倍，通過對學生作業的批改，發現大部分學生都用前兩種方法，第三種方法如何突破呢？讓學生邊說邊擺小棒的方法能得到很好的解決。在數學教學中，讓學生學會構建模型來直觀描述數學問題，這樣不僅可以發展學生的形象思維能力，還能通過數形結合達到鍛煉思維的創造性的目的。又如：計算1+2+…19+18+…+2+1，就可以引導學生借助19×19的正方形圖形進行觀察，借助直觀圖形，發現規律：1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2，這樣得出的規律會使學生不易忘記，掌握得更牢固。 數的產生源于對具體物體的計數。我們不難發現從數的概念的建立到數的運算處處蘊涵著數形結合的思想。如學習整數、分數、小數及其加、減、乘、除法的運算時，教材都是借助幾何圖形的直觀來幫助學生理解抽象的概念。生動形象的圖形使得抽象的知識變得趣味化、直觀化，讓學生在學習時，不再感到枯燥乏味，反而能夠使學生從中獲得有趣的情感體驗，讓學生主動去探索，把握概念本質。

三、“以數解形” ，使學生更準確地把握形的特點

“形”具有直觀形象的優勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢。我們利用其蘊含著的數量關系，借助代數的運算，將幾何圖形化難為易，表示為簡單的數量關系（如算式等），以獲得更多的知識面，即“以數解形”。它往往借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，表示形的特征、形的求積計算等等。比如說圖形特點，對幾何圖形性質的判斷有時需要通過計算才能獲得正確結論。如：周長相等的正三角形、正方形、長方形和圓形哪個面積大，哪個面積小？憑直觀難以判斷，而通過具體計算，或通過字母公式的推導就一目了然了。又如在教學《億以內數的認識》一課時，教師可以借助線段圖來幫助學生建構數量的多少。步驟如下：教師首先出示甲城市大約有20萬人，請學生在黑板上畫一條線段表示這20萬人。然后，教師在黑板上畫出另一條線段代表乙城市的人口，這條線段較長，問學生：“你們能猜測乙城市大約有多少萬人嗎？”說說理由。學生根據兩條線段之間的相對長短關系，估計出乙城市的人口大約是100萬。第三，教師繼續問：“丙城市大約有50萬人，你能用線段圖來表示嗎？”有的說，比表示甲城市的線段長的2倍多一些；有的說，是乙城市線段長的一半。最后，教師根據課堂不同的生成情況向學生展示他們的成果，在他們的頭腦中形成正確的印象。這樣的處理，培養了學生的觀察能力和估算能力，較好地發展了學生的數感。

總之，數形結合可以為將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，有利于學生順利地、高效率地學好數學知識，更有利于學生學習興趣的培養、智力的開發、能力的增強，使教學收到事半功倍之效。經過長期的訓練，讓學生有很好的數形結合的好習慣，提高學生的數學思維能力和轉化能力，達到數形統一。